《函数的零点》教学设计常州市第一中学孑L祥武一.设计思想与理念本课的教学设计是按照“教师为主导，学生为主体，课本为主线. ”的原则而设计的•教师在充分分析学生已有知识水平和思维能力的基础上，为学生创设探索的情境，通过问题串，指引探索的途径，通过环环相扣问题链激发学生的求知欲、探索欲，弓I导学生不断地提出新问题，解决新问题.二.教材分析：1.内容分析函数f(X)的零点，是中学数学的一个重要概念，从函数值与自变量对应的角度看，就是使函数值为0的实数x;从方程的角度看，即为相应方程f (x) = 0的实数根；从函数的图像角度看，函数的零点就是函数f (x)与x轴交点的横坐标•函数的零点从不同的角度，将函数与方程，数与形有机的联系在一起，体现的是函数知识的应用.学习函数零点存在性定理可为二次函数实根分布打下基础，并为下一节内容《二分法求方程近似解》提供理论支持•在讲授本节内容时更多要渗透函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合的思想方法•2.学情分析：初学者大多不清楚为什么要研究函数的零点，因为在此之前他们都能用公式法直接求方程的根•教学时可通过举例让学生知道，有许多方程都不能用公式法求解，只能把方程交给函数，转化为考察相应函数的零点问题，从动态的角度来研究，借助形的角度来研究数的问题.本人执教的班级是一中的教改班，学生层次较高，简单引用教材上的例题学生会觉得提不起兴趣，因此尝试在立足教材的基础上提出一些有挑战性的问题，调动学生的积极性，引导学生自主发现，自我建构知识.3.教材处理本节课从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，借助对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，并将这种关系推广到了一般情形•体会函数与方程之间的转化关系.第1页共10页对于函数零点判断定理，教师要引导学生从特例中发现感悟这一定理，在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析，引导学生多画图，讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解及应用.重点：函数的零点存在性定理的理解及运用难点：体会函数的零点与方程的根之间的联系；三.教学目标设计1•知识与技能(1 )理解函数(结合二次函数)零点的概念.(2)理解零点存在性定理的判定条件，会判断函数在某区间上是否存在零点2.过程与方法能够理解函数零点与方程的根之间的关系，能够结合反例找到不间断函数在某个区间上存在零点的判断方法.3.情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值，发展学生对变量数学的认识，体会函数知识的核心作用. 体验数学内在美，激发学习热情，培养学生创新意识和科学精神.四.教学过程设计1.情境问题：i/问题一：函数y2=x -2x-3图象与x轴交点坐标是什么？\【生】:(-1, 0) (3, 0)-1\O(3 x【师】:你是怎样得到的，\【生】:令y = =0解出来的./问题二：方程x2-2x-3=0的根与函数y=x2 -2x-3之间有什么联系？【生】：从图象上看，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标.【师】：很好，方程X2-2X-3=0可看作函数y = x2-2x-3函数值为0时特殊情形,函数与方程之间似乎有某种联系，-1,3是方程X2_2X_3=：0的两根，那么是函数2 2 y=x -2x-3的什么呢？为了表述方便，我们给它一个名称，把-1,3称为函数y=x-2x-3 的零点.(板书课题)设计意图：单刀直入，从学生熟悉的二次函数与二次方程入手，通过对图象的观察获得二次函数的零点与一元二次方程根的关系，给学生搭自然类比引出概念•零点知识是陈述性知识，关键不在于让学生提出这个概念，而在于理解提出零点概念的作用一一沟通函数与方程的关系.引入函数的零点的概念一是突出这一转化的思想，二是表述起来更方便.2 .建构数学问题三：类似的，函数y = f (X)的零点又该怎样定义？【生】：令y = 0，解出f (x) = 0的根便是函数的零点.函数的零点：1、定义：一般地，我们把使函数y = f (x)的值为0的实数X称为函数y二f(x)的零点.【师】：函数的零点从本质上来说是什么呢？一张纸还是一支笔啊？【生】：零点是一个实数.【师】：很好，去掉修饰语，实数 X称为零点•我们不妨这么记忆，零点不是点，海马不是马.2、说明：(1)函数的零点不是点，是个实数•(2 )函数的零点就是相应方程的根，也是函数图象与X轴交点的横坐标•函数的零点问题二方程的根的问题二图象与X轴的交点问题设计意图：围绕零点概念的剖析，帮助学生理解零点的本质，体会函数的零点与相应方程的根以及函数图像之间的相互转化的思想.问题四：方程3456x2-3458x V =0有没有实数根？【生】：有，用D = 34582- 4? 3456 0计算，可以估算.【师】：很好，还有别的做法吗?2【生】：设f (x)二3456X2 -3458x 1 , f (1) = -1 ：：： 0 ,因图像开口向上，所以2f (x) = 3456x - 3458x 1的图像和x轴必有两个交点.【师】：成功的关键在于把方程交给了函数，从函数角度来看问题变化：在区间(1,2)上有根吗？【生】：f(1) - -1, f(2) •0 ,二次函数图像必定穿越x轴，在区间(1,2)上有一个根.变化：在区间(0,1)上有根吗?【生】f(1) = _1,f(0) =1，函数图像必定穿越x轴，在区间(0,1)上有一个根.：设计意图：有意设计了一个不便于从代数角度求根的一元二次方程，“逼迫”学生另辟蹊径，把方程转化为函数，从“形”的角度，来考察二次方程在区间上是否有根，渗透函数与方程思想，数学结合的思想•同时让学生感受端点函数值异号，图像连续，函数有零点，这便是零点存在性定理的“雏形”，为下面引出零点存在性定理埋下伏笔问题五：若函数y = f (x)在区间［a,b］上满足f(a) f(b) ：：： 0,则函数y = f(x)在区间(a,b)上定有零点吗？试举例说明教师学生自己画图论证.1【生1】：不一定，y=—在区间(-1,1)上满足条件，却没有x零点・【师】：加一个怎样的条件就能保证上述函数y = f (x)在区间(a,b)上一定有零点？【生】：感觉只要函数y = f(x)在区间［a, b］上连在一起，不间断就可以了.引出零点存在性定理设计意图：通过问题四学生感觉似乎函数在区间上端点函数值异好，就有零点，教师适时地提出问题五，顺其自然把问题推向纵深，引导学生画图论证，自我探究，寻找反例，接下来定理的引出便是自然的，水到渠成的.零点存在定理：一般地，若函数y二f (x)在区间［a,b］上的图象是一条不间断的曲线，且f(a) f(b)：：： 0,则函数y = f(x)在区间(a,b)上有零点.问题六(剖析概念系列①②③④问)：【师】：学习了这个定理，你有哪些不明白的地方.(设计意图引导学生自主发现问题)【生】：①区间从［a,b］变化为(a,b)，为什么？【师】：使零点位置更精确！第一个区间［a,b］能改为区间(a,b)吗？『1,x 引一1,1)【生】：不可以，女口函数f(x)=I-1,X=1【师】②何谓“有零点”？【生】：至少有一个零点【师】③(能逆向吗？)一般地，若函数y二f (X)在区间［a,b］上的图象是一条不间断的曲线,【生】：1个.【师】：变式：二次函数y = f(x)在区间［a,b］上有f (a) • f (b) ：：： 0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有几个零点？【生】：1个(这是由二次函数自身的形状决定，引导学生画图感受)设计意图：在给出这个定理之后，还需要围绕定理作一些深入的剖析, 件就有零点，不满诸如：满足定理的条足定理的条件是否就没有零点，函数在区间上有零点是否一定有f(a)f(b) ：：：0，引导学生多画图，结合我们熟悉的二次函数的零点讨论定理逆命题的真假，加深对定理的理解，为灵活运用奠定基础. 这样达到完成本节课的知识与技能目标的目的，同时也突出了重点，3、典型例题：例题1：求证：函数f(x)=x3 x2 1在区间(-2,-1)存在零点.解答：f (_2)f(-1) ：：：0，函数f (x) -x3 x2 1 在区间(-2,-1)上不间断.强调：函数f(x) ^x3 x2 1在区间(-2, -1)上不间断•注重解题规范.变式1：求证：方程x3=4x，2在区间(-2,0)上至少有两个实根•解：令f (x) =x3 -4x-2 ,f(—2) =-8 8-2 ：：0, f(0) =-2 ：：0 , f (一1)=1 0 ,又函数f(x) =x3 -4x-2在区间(-2,0)上连续不间断，3f(x) -x -4x -2在区间(-2, -1),( -1,0)上都至少有一个根，所以得证.教师点评：把方程的根的问题转化为相应函数图象的零点问题处理.设计意图：例题1设计了一个三次函数的例子，不能像通常二次函数那样从代数角度直接求解函数零点，需要结合零点存在性定理解题，属于浅层次的模仿运用，让学生感悟零点存在性定理是判断函数有无零点的又一种方法. 变式训练把问题推向高潮，首先要把方程根的问题转化为函数的零点问题，训练学生函数与方程思想•当然变式1有一定难度，可根据学生层次选择.例题2：函数f (x) =1 nx x -4有零点的区间为(k,k，1) Z，求k的值.分析1：尝试直接应用定理解题.函数f (x) = In x x -4 , f (2) = In 2 - 2 ：： 0 , f (3) = In 3 -1 0 ,函数f (x) = In x x - 4在区间(k,k V) Z上单调增，故k =2分析2 :把问题转化为我们熟悉的函数图像的交点问题.% =-X • 4与y 2 =1 nx ，观察图像可得零点在区间 （1,4）当中,至于根到底在哪个区间，依靠图像本省还不有精确，需要把问题交给代数，考查 整点2,3.x = 2 时，如=2， y2 = l n 2 ：： 1， x = 3时，％ =1， y 2 =1 n3 1，通过精确比较，根位于区间（2,3）要进行细化.纠正学生的常见误区：直4 k [ C lk 的做法不对，属于认为有零点，便有端点值异好，若看出单调增，便可以这样使用 •逐一检验整数点。

归纳：函数零点的求解与个数的判断：（1） （代数法）转化为相应方程的实数根问题； （能求则求）， （2） （几何法）转化为函数的图象交点问题； （3）利用零点存在性定理解决.设计意图：设计一个入口较宽的，有一定挑战性的，一题多解的例题，让学生正确理解零点 存在性定理使用误区和注意事项，并培养学生数形结合的意识，把陌生的问题转化为熟悉问题， 把数的问题转化为形的问题， 当依靠形说不清时再次把形的问题转化为数，感受数学解题其实就是一个不断转化的过程. 4、当堂训练：（备用）1、 设函数f （X ）=? X-1，则函数g （x ）=f （x ）-l 的零点为 _______________________________log 81 x x =1n 4答：3 ——可以直接求根，也可以作图像！2、 函数f （x ）=xlgx-1有零点的区间为（k,k ，1） k ・Z ，则k 的值为 _________________________ . 21lg x,转化为熟知的图像的交点，最后细化！x(1,4)中的f( k) f( k 1= ) (kl nk13、方程3x log2 ^0在区间［―,1］内实数根的个数为___________________________ •14法一、转化为两个图像的交点个数.法二、函数单调增，用f(a) .f(b) ：：：0设计意图：争对课上的重点难点内容，当堂巩固训练，变式训练，课内时间可能来不及，看情况备用•5、课堂小结：(引导学生自己总结，自我建构)(1)函数的零点概念是什么？函数的零点问题二方程的根的问题二图像与x轴交点问题.⑵函数的零点个数的判断方法有哪些？(1)求出相应方程的实数根；(2)转化为函数的图象交点问题；(3)利用零点存在性定理(3)本节课运用了哪些数学思想方法？函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想设计意图在学生谈收获，谈体验的过程中，教师将本节课的内容回顾总结，概况升华，进一步优化学生的认知结构，把课堂所学的知识与方法较快转化为学生的素质，也更进一步培养学生的归纳概括能力.6、课外作业：一中配套课时训练第33课时函数的零点开课反思常州市第一中学孔祥武本节课好的地方：1.以问题串组织教学，一步步引导学生自主建构概念，6个大问题把整节课知识点串了起来.这样的课堂是高效的，学生在思考中发现，在探究中感悟.2.因为学生层次很好，(一中教改班)，这节课我设计时立足放手让学生来说，把舞台交给学生.充分体现教师为主导，学生为主体的新课程理念. 许多概念的反例都是学生自己来举的,第8页共10页听课老师都觉得学生表现得很让人吃惊•这里学生的主动性积极性得到调动•学生的大胆质疑，大声回答让人佩服，这样的课堂正是我们老师希望看到的，这样的学生正是我们老师希望培养的.3. 零点存在性定理讲的比较细致入微，嚼得有滋有味，剖析得比较透彻，是本节课的亮点.零点存在性问题本身是充分的，有局限性的. “剖析问题 ③(能逆向吗)一般地，若函数y 二f(x)在区间［a,b ］上的图象是一条不间断的曲线，若函数 y 二f(x)在区间(a,b)上有零点.贝U f (a) f (bh ：：0 ?能举例吗？”和变式2都在研究定理逆向方面的问题. 防止学生理解发 生偏差•定理的正向，逆向剖析，让学生对定理加深理解，使得学生对定理理解更全面.4. 本节课教态很自然，始终面带微笑，不慌不忙，娓娓道来，不太像自己平时严厉的作风，给人以亲近的感觉，学生似乎也被感染了，师生配合较好，还要坚持.需要改进的方面：1 •给出函数零点定义时提出问题：学习了零点定义要注意什么，问题太大，太空•可改为：学 习了零点，你能告诉人家零点是什么吗？可能更具体一些.2•零点不是点，黑马不一定是马说法不准确•改为零点不是点，海马不是马可能较好.3.零点存在性定理的生成亦可以设计一些活动让学生动手探究，揭示定理( 10分钟)已知函数y 二f x 的图象是一条连续不断的曲线，且过点 A a, f a 、B b, f b ，请思考：函数满足什么条件，在区间 la,b 1上一定有零点?可以让学生小组合作，这样使用于学生层次相对较低的班级.4••因为学生更适应零点问题先转换为求相应方程的实数根，能求则求也是一种重要的方法. 书中的例子还是应该用的. A •kiB • 图 A •1图 B • 2 在下列坐标系中作出 y 二f x 的可能图象.例题1:求证：函数f(x)= x3+ x2+ 1在区间(-2, - 1)上存在零点.变式1 ：求证：方程x3=4x ■ 2在区间(-2,0)上至少有两个实根.变式2 :函数f (x) = I n x • x「4有零点的区间为(k, kT) k Z，求k的值.可增加铺垫：判断函数f(x) =x2 -2x-1在区间(2,3)上是否存在零点？变式1：求证：函数f(x)= x3+ x2+ 1在区间(-2, - 1)上存在零点.(从二次到三次)变式2：求证：方程x = 4x 2在区间(-2,0)上至少有两个实根.变式3：函数f (x) = In x • x -4有零点的区间为(k, k T) k Z，求k的值.25.处理变式2过程中用学生提出作％ =x3,y2=4x • 2的图像，在作图过程中要强调画图的准确性，学生提出在区间(-2,0)上至少有两个实根.实质只有两个实根.处理变式3过程中有同学想到有零点则f(k)f(k 1h：： 0 ,这样的说法有问题，讲评时没有提及这方面的问题，只讲了正确的，没有兼顾错误的，错误也是一种资源，也有很好的教育意义.。