§5 双曲面
为了较为直观地理解双曲面的几何特征，先看一个例子.
将yz 平面上的双曲线⎪⎩
⎪⎨⎧==-
0122
22x c z b y 分别绕虚轴（z 轴）和实轴（y 轴）旋转，得到两个
旋转曲面
1222222=-+c z b y b x 和 122
2222=-+-c
z b y c x 分别称为旋转单叶双曲面和旋转双叶双曲面. 它们的图形如下所示.
x
图1
图2
1．单叶双曲面
定义4.5.1 在直角坐标系下，由方程
12
2
2222=-+c z b y a x (a ，b ，c >0) (4.5－1)
所表示的图形称为单叶双曲面；而方程(4.5－1)称为单叶双曲面的标准方程.
性质与形状
（i ）对称性 单叶双曲面(4.5－1)关于三坐标轴，三坐标平面及原点对称. 原点是(4.5－1)的对称中心.
（ii ）有界性 由方程(4.5－1)可知，单叶双曲面(4.5－1)是无界曲面 （iii ）顶点、与坐标轴的交点和与坐标面的交线
单叶双曲面(4.5－1)与x ，y 轴分别交于（±a ，0，0），（0，±b ，0）而与z 轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点，而与z 轴的交点（0，0，±ci ）称为它的两个虚交点.
(4.5－1)与三坐标平面z = 0，y = 0和x = 0交于三条曲线
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+01
22
22z b y a
x (1)
⎪⎩
⎪⎨⎧==-01
22
22y c z a
x (2)
⎪⎩
⎪⎨⎧==-01
22
22x c z b
y (3)
其中（1）叫单叶双曲面(4.5－1)的腰椭圆，（2）和（3）均为单叶双曲面上的双曲线. （iv ）与平行于坐标面的平面的交线
为考察(4.5－1)的形状，我们先用平行于xy 平面的平面z = k 去截它，其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=+k z c k b y a x 2
2
22221 (4)
这是一族椭圆，其顶点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+±k c k b ，,1022，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+±k c k a ,0,122，其半轴为b 221c k +和
a 22
1c
k + ，当∣k ∣逐渐增大时，椭圆（4）逐渐变大. 可见，单叶双曲面(4.5－1)是由一系
列“平行”椭圆构成的，这些椭圆的顶点分别在二相互“垂直”的双曲线上变化.
再用一族平行于yz 平面的平面x = k 去截(4.5－1)，其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-k x a k c z b y 2
222221 (5)
当∣k ∣< a 时，（6）为一双曲线，其实轴平行于y 轴，虚轴平行于z 轴，其顶点为
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-±0,1,2
2a k b k ，当∣k ∣= a 时，（6）为二相交线，其交点为（k ，0，0）当∣k ∣>a 时，（6）仍为双曲线，但其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，其顶点⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-±0,1,0,22a k a k .
最后，若用一组平行于zx 平面的平面去截(4.5－1)，其截线情况与上述相仿. 截线图形
如上图所示.
综上，单叶双曲面(4.5－1)的图形如图（1）所示. 图（1）中也画出了腰椭圆和两条主双曲线.
一般的单叶双曲面可以理解为将本节开始时得到的旋转单叶双曲面在x 轴方向作一个伸缩变换而得到.
在直角系下，方程
12
22222=+-c z b y a x 或122
2222=++-c z b y a x 所表示的图形也是单叶双曲面，绘图时注意须
确定其“虚轴”.
二 双叶双曲面：
1 定义：在直角坐标系下，由方程
122
2222-=-+c
z b y a x （a ，b ，c > 0） (4.5－2)
所表示的图形称为双叶双曲面；而(4.5－2)称为双叶双曲面的标准方程.
几何性质与形状：
（i ）对称性 双叶双曲面(4.5－2)关于三坐标轴，三坐标面及原点对称，原点为其中心. （ii ）有界性 由(4.5－2)可见，双叶双曲面为无界曲面. （iii ）与坐标轴的交点及与坐标面的交线
双叶双曲面(4.5－2)与x 轴、y 轴不交，而与z 轴交于（0，0，±c ），此为其实顶点. 双叶双曲面(4.5－2)与三坐标面交于三条曲线
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+01
22
22z b y a
x (5)
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-01
22
22y c z a
x (6)
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-01
22
22x c z b
y (7)
（5）是一个虚椭圆，表明双叶双曲面(4.5－2)与xy 平面不相交（无实交点）. （6）、（7）均为双曲线，其实轴为z 轴，虚轴分别为y 轴和x 轴，其顶点为（0，0，±c ）.
（iv ）与平行于坐标面平面的交线：
为考察双叶双曲面(4.5－2)的形状，先用平行于xy 面的平面去截(4.5－2)，其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=+k z c k b y a x 2
2
22221 (8)
当∣k ∣< c 时，(4.5－2)与z = k 无实交点. 当∣k ∣= c 时，(4.5－2)与z = k 交于（0，0，±c ）
当∣k ∣> c 时，（8）为椭圆，其顶点为(0，±b 22
1c k +-，k )，(±a 221c
k +-，0，k )，
其半轴为
b 22
1c
k +-，a 221c k +-.
可见，双叶双曲面(4.5－2)是由z =±c 外的一系列“平行”椭圆构成. 这些椭圆的顶点在双曲线（6）和（7）上变化.
若用平行于yz 面的平面去截(4.5－2). 其截线为
⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-k x a k c z b y 2
2
22221 (9)
对任意实数k ，(9)均为双曲线，其实轴平行于z 轴，虚轴平行于y 轴，顶点为
(k ，0，±c 221a
k +). 双叶双曲面(4.5－2)的示意图如前面的图（2），但准确地说，图（2）是双叶双曲面
122
2222-=+-c
z b y a x 的示意图.
最后，若用平行于zx 面的平面去截(4.5－2)，其截线情况与上述相仿. 在直角系下，方程
122
2222-=+-c z b y a x 和1222222-=++-c
z b y a x 所表示的图形也是双叶双曲面. 最后谈谈单叶双曲面和双叶双曲面的方程的识别，这一点上有些学生容易出错. 两种双曲面的方程的左边都是x ，y ，z 的平方项，有正有负，右边是1或－1.
把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的，就表示单叶双曲面. 而左边有两
项负，一项正的，就表示双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐标轴的标注要符合右手系的原则.
悬链曲面（又名悬垂曲面）是一个曲面，是将悬链线绕其准线旋转而得，故为一旋转曲面。

除了平面以外，悬链曲面也是第一个被发现的最小曲面，在1744年被莱昂哈德·欧拉发现且证明。

[1]Jean Baptiste Meusnier 也做了些早期的研究。

[2]只有两个曲面既为旋转曲面又是最小曲面，即为平面与悬链曲面。

[3] 悬链曲面可被以下参数式所定义：
其中
及
为实参数而为大于零的常数。

把两个圆形浸泡于一肥皂溶液里，再缓慢地把那两个圆形分隔开，就可以制作出一个悬链曲面的物理模型。