的单调减区间：(2, 0) , (0, 2)
说明 1.单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在 的点.如例2中导数不存在的点为0 又如：
三.典型案例
y
y 3 x2
o
x
2.如果函数在某驻点两边导数同号,则不改变函数的
单调性. 如：
y
y x3
o
x
四.小 结
思考： 证明对任意实数 x ，有 ex 1 x
② 在开区间(a,b)内可导, ③ f (x) 0,or f (x) 0
则
在[a,b]上单调递增(或单调减少)
2.证明 设
任取
二.函数单调性判别法
由拉格朗日中值定理得 0
故
即 在[a,b]上单调递增.
同理，可证明函数单调递减。
注意1 1).如果 (a,b) 内 f (x) 0( 0), 且等号仅在个别点处成 立,则函数在区间上单调增或减。 2).判定法中的闭区间可换成其他各种区间。
二.函数单调性判别法
问题 函数单调增加，导数一定大于0吗？
结论：不一定，因为单调函数不一定可导。 即使可导，个别点的导数也可以为0
y f (x)
k1
y f (x)
k2
在x 0 处不可导
图3
在 x 0 处导数为0
图4
三、典型案例
例1 【庄稼产量与施肥量的关系】
种植在含氮量为N的土壤里的庄稼，其产量可由米氏 （Michaelis-Menten）函数确定
f (x) f (0) 0 ex 1 x
四.小 结
利用导数的（正负）符号可以判定函数的单调性; 通过求出导数等于0的点和导数不存在的点作为
单调区间的分界点，进而确定函数的单调区间; 利用函数的单调性证明不等式.

2

8 x2

2(x 2)(x 2) x2
令 f (x) 0 , 得 x 2, x 2
x (, 2) 2 (2 , 0) 0
f (x)
0
f (x)
8
(0 , 2) 2 (2, )
0
8
三.典型案例

的单调增区间：( , 2), (2, );
函数单调性的判别法
一.问题提出
观察1现. 象现1象.观一察现象
一.问题提出
1. 现象二
函数的一种性态——单调增加（减少）
一.问题提出
2.探究与思考
[路程与速度的关系] 做直线运动的物体 v(t) ds 0
dt
函数的导数
则 s(t) 是单调增加的
函数的单调性
一.问题提出
3.观察曲线
y
B
分析：令 f (x) ex 1 x, f (x) ex 1, 且 f (0) 0 需证明 f (x) f (0)
1.当 x 0, f (x) 单调增加
f (x) f (0) 0 ex 1 x
2.当 x 0, f (x) 单调递减 3.当 x 0, 等式显然成立。
结论：庄稼产量随着氮量的增加而增加。 注意2 函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这
一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来 判别一个区间上的单调性．
三.典型案例
例2 确定函数
的单调区间.
单调区间：函数在其定义区间的某个子区间内是单
调的，则该子区间称为函数的单调区间。
解:
f
( x)
Y (N ) aN bN
其中a,b均为正常数，试分析庄稼产量随氮量的增减情况。
解： Y (N ) aN bN
D :[0, )
Y (N )
a
(b (b
N) N N)2

ab (b N )2

0
三.典型案例
在 (0, ) 内， y 0, 函数 Y (N ) 单调递增。
y
A
y f (x)
y f (x)
A x
B x
o
a
f ( x ) 0
b
o a f ( x) 0 b
图1
图2
可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系。
那么，能否用导数的符号来判断函数的单调性呢？
5
二.函数单调性判别法
函数单调性判别法
1.定理 函数
பைடு நூலகம்
满足三要素
① 在闭区间[a,b]上连续;