构建函数模型，成功把握解题专题讲座一、专题解读数学建模就是把生活实际问题或以不同背景下描述的问题，通过数学语言翻译后转化成用数学符号，数学式子连接而成的方程，不等式、函数等不同数学专属问题，通过观察，分析，思考，选择恰当的数学知识，科学的解题方法，严谨的推理思维，解决问题的数学解题思想.常见的建模思想有方程型建模和函数型建模两种.近几年考题中，函数型建模思想运用的较多些，建模的实质是把问题转化成一次函数，反比例函数，二次函数问题问题去求解，建模时，准确判断建模的类型，构建科学的模型并能熟练运用该模型的数学知识，基本数学方法，基本解题思路破解问题是解题的关键.二、典型例题1.构建一次函数型探求直线过定点问题例1 如图1，平面直角坐标系 xoy 中，点 A 的坐标为 (9,6)， AB ⊥y 轴，垂足为 B ，点 P从原点 O 出发向 x 轴正方向运动，同时，点 Q 从点 A 出发向点 B 运动，当点 Q 到达点 B时，点 P 、 Q 同时停止运动，若点 P 与点 Q 的速度之比为 1:2，则下列说法正确的是( )A. 线段 PQ 始终经过点(2,3)B. 线段 PQ 始终经过点(3,2)C. 线段 PQ 始终经过点(2,2)D. 线段PQ 不可能始终经过某一定点解析：设OP=t ，则点P 的坐标为（t ，0），点Q 的坐标为（9﹣2t ，6）．设直线PQ 的解析式为y=kx+b （k ≠0），将P （t ，0）、Q （9﹣2t ，6）代入y=kx+b ，kt+b =0(9-2t)k+b =6⎧⎪⎨⎪⎩，解得：2k =3-t 2t b =t-3⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，所以直线PQ 的解析式为y=23-t x+2t t-3． 整理，得（y-2）t=3y-2x,因为关于t 的方程有无数解，所以y-2=03y-2x =0⎧⎪⎨⎪⎩，解得x =3y =2⎧⎪⎨⎪⎩，所以 线段 PQ 始终经过点(3,2) 所以选B.点评：解答时，有三个环节非常重要：1.理解“始终经过”的意义是第一个重要条件；2.利用方程组的思想，待定系数法确定直线的解析式是第二个重要条件；3.把方程转化为速度t的一元一次方程，把速度值的多样性转化为一元一次方程有无数解的模型求解是第三个重要条件.2.构建一次函数模型探求决策型问题例2某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.设小明计划今年夏季游泳次数为 x（ x为正整数）.游泳次数10 15 20 …方式一的总费用（元）150 175 ________ … ________方式二的总费用（元）90 135 ________ … ________多？（3）当 x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由.解析：（1）第一行：200，5x+100；第二行：180；9x.（2）解：方式一：5x+100=270，解得 x=34.方式二： 9x=270，解得 x=30.因为 34＞30，所以小明选择方式一游泳次数比较多.（3）解：设方式一与方式二的总费用的差为 y元.则 y=(5x+100)-9x=-4x+100，当 y=0时，即 -4x+100=0，解得 x=25.所以当x=25时，小明任意选择两种方式中的一种都是一样合算.因为-4＜0,根据一次函数的性质，得y随 x的增大而减小,所以当x＜25时，有y＞0，即5x+100＞9x，所以小明选择方式二更合算，因为x＞20，所以20＜x＜25时，小明选择方式二更合算；当x＞25时，有y＜0，即5x+100＜9x，所以小明选择方式一更合算.点评：优化方案设计思想是近年中考的热点思想，利用优化思想，确定最优方案不仅培养学生会用知识，更重要是培养学生学会选择知识解决实际问题的能力，同时也锻炼学生的良好消费观.通过问题的求解，更要掌握这种解题策略，为以后的解题奠定知识基础.3.构建一次函数模型探求网费问题例3 某通讯公司就上宽带网推出A，B，C三种月收费方式．这三种收费方式每月所需的费用y（元）与上网时间x（h）的函数关系如图2所示，则下列判断错误的是（）A. 每月上网时间不足25 h时，选择A方式最省钱B. 每月上网费用为60元时，B方式可上网的时间比A方式多C. 每月上网时间为35h时，选择B方式最省钱D. 每月上网时间超过70h时，选择C方式最省钱解析：根据图像，可知C方式不论时长是多少，都是收120元；A方式是一个分段函数，根据题意可得当x≤25时，y=30； x＞25时，y=3x-45；B方式是一个分段函数，根据题意可得当x≤50时，y=50； x＞50时，y=3x-100；当x≤25时，A方式支付30元，B方式支付50元，C方式支付120元，所以A选项是正确；当y=60时，3x-45=60，解得x=35；3x-100=60，解得x=1603＞50，所以B选项是正确；当x=35时，A方式支付y=3x-45=60元，B方式支付y=3x-100=5元，C方式支付120元，所以C选项是正确；当y=120时，3x-45=120，解得x=55；3x-100=120，解得x=2203＞73，所以当70≤x≤2203时，B方式便宜；当x＞2203时，选择C方式最省钱，所以D选项错误，所以选D.点评：利用数形结合思想，看懂图像，读懂图像展示出来的解题信息，确定各种方式的表达式是解题的关键，其次，要会比较，清楚需要的条件是比较时长，还是比较消费金额，进而结合图像作出正确的判断.4.构建一次函数模型探求利润最大值问题例4“绿水青山就是金山银山”，随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，孝感市槐荫公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B型净水器的数量相等．（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）槐荫公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元．试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，槐荫公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a（70＜a＜80）元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金，设槐荫公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的利润为W，求W 的最大值．解析：（1）设A型净水器每台的进价为m元，则B型净水器每台的进价为（m﹣200）元，根据题意得：5000045000=m m-200，解得：m=2000，经检验，m=2000是分式方程的解，∴m﹣200=1800．答：A型净水器每台的进价为2000元，B型净水器每台的进价为1800元．（2）根据题意得：2000x+180（50﹣x）≤98000，解得：x≤40．W=（2500﹣2000）x+（2180﹣1800）（50﹣x）﹣ax=（120﹣a）x+19000，∵当70＜a＜80时，120﹣a＞0，∴W随x增大而增大，∴当x=40时，W取最大值，最大值为（120﹣a）×40+19000=23800﹣40a，∴W的最大值是（23800﹣40a）元．点评：根据购买资金=A型净水器的进价×购进数量+B型净水器的进价×购进数量结合购买资金不超过9.8万元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，由总利润=每台A型净水器的利润×购进数量+每台B型净水器的利润×购进数量﹣a×购进A 型净水器的数量，即可得出W关于x的函数关系式，从而完成一次函数模型的构建，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．5.构建一次函数模型探求利润最大购买方案问题例5 某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，且限定商店最多购进A 型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解析：（1）根据题意，y=400x+500（100﹣x）=﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y=﹣100x+50000中k=﹣100＜0，∴y随x的增大而减小，∵x为正数，∴x=34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y=（400+a）x+500（100﹣x），即y=（a﹣100）x+50000，3313≤x≤60，①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，∴当x=34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②a=100时，a﹣100=0，y=50000，即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100＜a＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．点评：（1）根据“总利润=A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）构建起一次函数模型，后利用分类思想。

分①当0＜a＜100时，y随x的增大而减小，②a=100时，y=50000，③当100＜m＜200时，a﹣100＞0，y随x的增大而增大，三种情况讨论，分别进行求解，这是这道建模考题的精华所在．6.构建反比例函数模型探求传染病预防消毒型问题例6 （2018年•聊城）春季是传染病多发的季节，积极预防传染病是学校高度重视的一项工作，为此，某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒．在对某宿舍进行消毒的过程中，先经过5min的集中药物喷洒，再封闭宿舍10min，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/3m）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．下面四个选项中错误的是（）A．经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/3mB．室内空气中的含药量不低于8mg/3m的持续时间达到了11minC．当室内空气中的含药量不低于5mg/3m且持续时间不低于35分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．此次消毒完全有效D．当室内空气中的含药量低于2mg/3m时，对人体才是安全的，所以从室内空气中的含药量达到2mg/3m开始，需经过59min后，学生才能进入室内解析：仔细观察图像，OA段可构建正比例函数模型求解，即y=2x,(0≤x≤5),且y随x的增大而增大，所以x=5时，y最大，且y=10即经过5min集中喷洒药物，室内空气中的含药量最高达到10mg/3m，所以A是正确的．当y=8时，所以8=2x，解得x=4时，∴室内空气中的含药量不低于8mg/3m的持续时间为15-4=11min，即室内空气中的含药量不低于8mg/3m的持续时间达到了11min，所以B是正确的；当y=5时，AO 段上的x=2.5；设BC 的解析式为y=k x ，所以k=120，所以y=120x，x ≥15， 当y=5时，x=24，所以持续的时间为：24﹣2.5=21.5＜35，所以选项C 错误，符合题意； 当y=2时，AO 段上的x=1；设BC 的解析式为y=k x ，所以k=120，所以y=120x，x ≥15， 当y=2时，x=60，所以持续的时间为：60﹣1=59，所以选项D 正确；所以选C ．点评：看清各段函数的图像，正确建立函数模型的对接，是解题的关键.AO 段是正比例函数，AB 段是一次函数，BC 段是反比例函数，这是解题的第一步；正确选择函数解析式，确定符合题意的临界时间值，是解题的根本，两个临界时间值的差就是持续时间这一点对解题来说也是很重要的.特别是反比例函数的性质对解题起到了重要作用.7.以销售单价与数量形式呈现数量关系建立二次函数模型例7某景区商店销售一种纪念品，每件的进货价为40元．经市场调研，当该纪念品每件的销售价为50元时，每天可销售200件；当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（1）当每件的销售价为52元时，该纪念品每天的销售数量为 件；（2）当每件的销售价x 为多少时，销售该纪念品每天获得的利润y 最大？并求出最大利润． 解析：（1）由题意得：200﹣10×（52﹣50）=200﹣20=180（件）；（2）由题意得：y=（x ﹣40）[200﹣10（x ﹣50）]=﹣102x +1100x ﹣28000=﹣102(x 55) +2250，∴每件销售价为55元时，获得最大利润；最大利润为2250元．点评：（1）正确理解“当每件的销售价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”的意义是解题的关键；（2）根据等量关系“利润=（售价﹣进价）×销量”列出函数关系式，构建二次函数模型，借助二次函数的最值判断加以解决．8.以函数图像形式呈现数量关系建立二次函数模型例8 某绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出．如图4，线段EF 、折线ABCD 分别表示该有机产品每千克的销售价1y （元）、生产成本2y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系．（1）求该产品销售价1y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本2y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？解析：（1）设1y 与x 之间的函数关系式为1y =kx+b ，∵经过点（0，168）与（180，60），所以b =168180k+b =60⎧⎪⎨⎪⎩，解得：b =1683k =5⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩，∴产品销售价1y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式为1y =﹣35x+168（0≤x ≤180）； （2）由题意，可得当0≤x ≤50时，2y =70；当130≤x ≤180时，2y =54；当50＜x ＜130时，设2y 与x 之间的函数关系式为2y =mx+n ，∵直线2y =mx+n 经过点（50，70）与（130，54）， ∴50m+n =70130m+n =54⎧⎪⎨⎪⎩，解得：n =801m =-5⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，∴当50＜x ＜130时，y 2=﹣15x+80． 综上所述，生产成本2y （元）与产量x （kg ）之间的函数关系式为2y =70(0x 50)1-x+80(50x 130)554(130x 180)⎧≤≤⎪⎪⎨⎪⎪≤≤⎩p p ；（3）设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，①当0≤x≤50时，W=x（﹣35x+168﹣70）=﹣352245(x)3-+120053，因为在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x=50时，W的值最大，最大值为3400；②当50＜x＜130时，W=x[（﹣35x+168）﹣（﹣15x+80）]=﹣252(x110)-+4840，因为在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，∴当x=110时，W的值最大，最大值为4840；③当130≤x≤180时，W=x（﹣35x+168﹣54）=﹣352(x95)-+5415，因为在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴当x=130时，W的值最大，最大值为4680．因为4840＞4680＞3400，所以当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元．点评：（1）强化待定系数法的应用；（2）仔细观察图像，利用分类的思想求函数的解析式；（3）利用：总利润=每千克利润×产量，构建起二次函数模型，判定自变量的端点值与对称轴的大小，从而确定界点值与抛物线的位置关系，利用二次函数的增减性分别确定不同条件下的最值，比较最值得大小确定最后的答案．这里灵活运用了分类思想，这是本题的最大亮点.9.以实物抛物线形式呈现数量关系建立二次函数模型例9某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图5所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．解析：（1）设水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=a 2(x 3)-+5（a ≠0）， 将（8，0）代入y=a 2(x 3)-+5，得：25a+5=0，解得：a=﹣15， ∴水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣152(x 3)-+5（0＜x ＜8）． （2）当y=1.8时，有﹣152(x 3)-+5=1.8，解得：1x =﹣1，2x =7， ∴为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．（3）当x=0时，y=﹣152(x 3)-+5=165． 设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣152x +bx+165， ∵该函数图象过点（16，0），∴0=﹣15×216+16b+165，解得：b=3， ∴改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=﹣152x +3x+165 =﹣15215(x )2-+28920．∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为28920米． 点评：把实际问题构建成二次函数模型时，要做好如下几点：1.把生活中的数字正确转化成二次函数模型中的数字，使其生活意义数学化；2.构建起二次函数模型后，还需要灵活运用模型知识，选择简洁的函数解析表达式，以利于问题的求解；3.利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1.8时x 的值，由此即可得出结论；4.利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y 轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为y=152x +bx+165，代入点（16，0）可求出b 值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论．10.以图形面积形式呈现数量关系建立二次函数模型例10 如图6，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN ，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD ，其中AD ≤MN ，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a=20，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2）求矩形菜园ABCD 面积的最大值．解析：（1）设AB=xm ，则BC=（100﹣2x ）m ，根据题意得x （100﹣2x ）=450，解得1x =5，2x =45，当x=5时，100﹣2x=90＞20，不合题意舍去；当x=45时，100﹣2x=10，答：AD 的长为10m ；（2）设AD=xm ，∴S=12x （100﹣x ）=﹣122(x 50) +1250， 当a ≥50时，则x=50时，S 的最大值为1250；当0＜a ＜50时，则当0＜x ≤a 时，S 随x 的增大而增大，当x=a 时，S 的最大值为50a ﹣122a ， 综上所述，当a ≥50时，S 的最大值为1250；当0＜a ＜50时，S 的最大值为50a ﹣122a ． 点评：以矩形的面积为抓手构建二次函数模型，把图形面积的最大值转化为二次函数最大值问题加以解决，解答时，要注意对a 进行分类求解，不能只是一味的利用模型求解而求解，确保解后的答案全面和准确.11.以文字描述形式呈现数量关系建立二次函数模型例11 某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件．此产品年销售量y （万件）与售价x （元/件）之间满足函数关系式y=﹣x+26．（1）求这种产品第一年的利润1w （万元）与售价x （元/件）满足的函数关系式；（2）该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？（3）第二年，该公司将第一年的利润20万元（20万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润2w 至少为多少万元．解析：（1）1w =（x ﹣6）（﹣x+26）﹣80=﹣2x +32x ﹣236．构建函数模型，成功把握解题专题讲座11 / 11 （2）由题意：20=﹣2x +32x ﹣236．解得：x=16，答：该产品第一年的售价是16元．（3）由题意：7≤x ≤16，2w =（x ﹣5）（﹣x+26）﹣20=﹣2x +31x ﹣150，对车轴为x=312,所以在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，∴x=7时， 2w 有最小值，最小值为18（万元），答：该公司第二年的利润W 2至少为18万元．点评：（1）根据总利润=每件利润×销售量﹣投资成本，构建二次函数模型；（2）方函数模型转化为方程模型问题即可解决；（3）根据题意求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性求解，注意当界点值不在对称轴的同侧时，要利用对称轴的性质迁移到同侧，后利用性质确定最值.。