开普勒定律 万有引力定律 天体运动模型归类大连市物理名师工作室 门贵宝一．开普勒定律应用问题(一).开普勒第一定律（轨道定律）1.人们对天体运动的认识有“地心说”和“日心说”，下列叙述中正确的是( C ) A ．太阳东升西落的现实，说明“地心说”是有科学道理的 B ．“日心说”否定了“地心说”是科学的否定，因此“日心说”是完美的学说 C ．“日心说”是人类认识自然过程中的又一进步，但也存在一定的缺陷 D ．以上说法均不正确2.根据开普勒行星运动规律推论出下列结论中，哪个是错误的( D )A.人造地球卫星的轨道都是椭圆，地球在椭圆的一个焦点上 B.同一卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同C.不同卫星在绕地球运动的不同轨道上运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相同D.同一卫星绕不同行星运动，轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比值都相等 3.设行星绕恒星的运动轨道是圆，则其运行周期T 的平方与其运动轨道半径R 的三次方之比为常数，即R 3/T 2=k ，那么k 的大小（ B ）A.与行星质量有关 B.与恒星质量有关C.与恒星及行星的质量均有关 D.与恒星的质量及行星的速率有关 (二).开普勒第二定律（面积定律）4.某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F 1和F 2是椭圆的两个焦点，行星在A 点速率比在B 点的速率大，则太阳应位于 （ B ）A. A 点B. F 1 点C. F 2点D. B 点5.某行星沿椭圆轨道运行，近日点离太阳的距离为a ，远日点离太阳的距离为b ， 过近日点时行星的速率为v a ，则过远日点时的速率为（ C ）A. B. C. D.a b v a bv =a b v b a v =a b v b av =a b v abv =6.如图所示，在某行星的轨道上有a 、b 、c 、d 四个对称点，若行星运动周期为T ，则行星（ACD ）A.从a 第一次到b 的运动时间等于从c 第一次到d 的时间B.从d 第一次经a 到b 的运动时间等于从b 第一次经c 到d 的时间C.从a 第一次到b 的时间4Tt ab <D.从c 第一次到d 的时间4T t cd >（三）.开普勒第三定律（周期定律）7.两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动，周期之比为T A ∶T B =1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为（ D ）A ．R A ∶RB =4∶1，v A ∶v B =1∶2 B ．R A ∶R B =4∶1，v A ∶v B =2∶1C ．R A ∶R B =1∶4，v A ∶v B =1∶2D ．R A ∶R B =1∶4，v A ∶v B =2∶1．8.太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道.下列4幅图是用来描述这些行星运动所a c遵从的某一规律的图像.图中坐标系的横轴是，纵轴是;这里T 和R 分别lg(/)O T T lg(/)O R R 是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，和分别是水星绕太阳运行的周期和O T 0R 相应的圆轨道半径.下列4幅图中正确的是（ B ）A D CB 9.a 是地球赤道上一栋建筑，b 是在赤道平面内作匀速圆周运动、距地面9.6m 的卫星，c ⨯610是地球同步卫星，某一时刻b 、c 刚好位于a 的正上方（如图甲所示），经48h ，a 、b 、c 的大致位置是图乙中的（取地球半径R=6.4m ，地球表面重力加速度g=10m/，=⨯6102s π（ B ）甲CBb 乙10.地球公转运行的轨道半径R ＝1.49×1011m ，地球的公转周期为1年，土星运行的轨道半径R ′＝1.43×1012m 则其周期多长？解析：根据行星的运动规律，有，T ′=29.7T ，即k T R =2323122311)1043.1()1049.1(TT '⨯=⨯土星的公转周期为29.7年。

11.据美联社2002年10月7日报道，天文学家在太阳系的9大行星之外，又发现了一颗比地球小得多的新行星，而且还测得它绕太阳公转的周期为288年。

若把它和地球绕太阳公转的轨道都看作圆，问它与太阳的距离约是地球与太阳距离的多少倍？（最后结果可用根式表示）解：设太阳的质量为M ；地球的质量为m 0,绕太阳公转的周期为T 0，太阳的距离为R 0，公转角速度为ω0；新行星的质量为m ，绕太阳公转的周期为T ，与太阳的距离为R ，公转角速度为ω ，根据万有引力定律和牛顿定律，得由以上各式得已知 T=288年，T 0=1年 得02002022R m R Mm GR m RMm Gωω==ωπ2=T 002ωπ=T 320(T T R R =)(4432288或=R R12.飞船沿半径为R 的圆周绕地球运动，其周期为T ，如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A 处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的特殊椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B 点相切，如图所示，如果地球半径为R 0，求飞船由A 点到B 点所需的时间。

12.解：当飞船做半径为R 的圆周运动时，由开普勒第三定律知 当K TR =23飞船返回地面时，从A 处降速后沿椭圆轨道至B 。

设飞船沿椭圆轨道运动的周期为T’，椭圆的半长轴为a ，则 可解得：由于k T a =23'T R a T ⋅=3)('，由A 到B 的时间20R R a +=2'T t =R T R R T R R R T t 4)()2(212'0330+=⋅+==∴二、运用万有引力定律求天体的质量和密度。

15、1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人，若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径为R ，地球上一个昼夜的时间为T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转的周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离为L 2．你估算出（ AB ）A 、地球的质量GgR m 2=地B 、太阳的质量223224GT L m π=太C 、月球的质量213124GT L m π=月D 、可求月球、地球及太阳的密度16、一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。

已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ D ）Ａ．124()3G πρ Ｂ．123()4G πρ Ｃ．12()G πρ Ｄ．123()G πρ17、 如果某行星有一颗卫星沿非常靠近此恒星的表面做匀速圆周运动的周期为T ，则可估算此恒星的密度为多少? 答案： 3π²／GT ²18、一均匀球体以角速度ω绕自己的对称轴自转，若维持球体不被瓦解的唯一作用力是万有引力，则此球的最小密度是多少？ G πω432。

二、重力加速度g 随离地面高度h 变化的讨论。

19、飞船以加速度2ga =（g 为地球表面的重力加速度）匀加速上升，测得在地面上kg10的物体重力为N 75，由此可求出此时飞船里地的高度为多少？（地球半径km R 3104.6⨯=） 答案：kmh 3104.6⨯=20.设地球表面的重力加速度为g ，物体在距地心4R （R 是地球半径）处，由于地球的引力作用而产生的重力加速度g ，，则g g /'为（ D ）A. 1 B. 1/9 C. 1/4 D. 1/16三、天体运动与抛体运动的联系问题21. 宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。

经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。

若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L 。

已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。

求该星球的质量M 。

答案：联立以上各式解得2mmg=M G RM =22.在某星球表面以初速度v 0坚直上抛一个物体，若物体只受该星球引力作用，物体上升的最大高度为h 。

该星球表面的重力加速度为 ；已知该星球的半径R ，如果要在这个星球上发射一颗绕它运行的卫星，其做匀速圆周运动的最小周期为答案：h v 220 (2分)hR v 220π四、运用万有引力定律求运动天体的参量。

23、2008年9月25日21时10分，载着翟志刚、刘伯明、景海鹏三位宇航员的神舟七号飞船在中国酒泉卫星发射中心发射成功，9月27日翟志刚成功实施了太空行走。

已知神舟七号飞船在离地球表面h 高处的轨道上做周期为T 的匀速圆周运动，地球的半径R ，万有引力常量为G 。

在该轨道上，神舟七号航天飞船（.BCD ）A ．运行的线速度大小为T Rπ2B ．运行的线速度小于第一宇宙速度C ．运行时的向心加速度大小22)(4T h R +π D ．地球表面的重力加速度大小为2232)(4R T h R +π五、“天体相遇”问题两天体相遇，实际上是指两天体相距最近，条件是)3,2,1(221 ==-n n t t πωω两天体相距最远，条件是)3,2,1()12(21 =-=-n n t t πωω24．A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h ，已知地球半径为R ，地球自转角速度ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心。

（1）求卫星B 的运动周期（2）如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近（O 、B 、A 在同一直线上）则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？答案：六．“卫星变轨”问题根据圆周运动的向心力供求关系进行分析（1）若F 供＝F求，供求平衡，物体做匀速圆周运动（2）若F 供＜F 求，供不应求，物体做离心运动（3）若F 供＞F 求，供过于求，物体做向心运动25．如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火将卫星送入同步圆轨道3。

轨道1、2相切于A 点，轨道2、3相切于B 点。

则当卫星分别在1、2、3轨道正常运行时，下列说法正确的是：(CD)A 、卫星在轨道3上的周期大于在轨道1上的周期B 、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率C 、卫星在轨道2上运行时，经过A 点时的速率大于经过B 点时的速率D 、卫星在轨道2上运行时，经过A 点时加速度大于经过B 点的加速度26、我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B 处对接，已知空间站绕月轨道半径为r ，周期为T ，万有引力常量为G ，下列说法中正确的是（ ABC ）A ．图中航天飞机正加速飞向B 处B ．航天飞机在B 处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速C ．根据题中条件可以算出月球质量D ．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小27.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( A )A ．轨道半径变小B ．向心加速度变小C ．线速度变小D ．角速度变小七、“同步卫星”问题同步卫星具有四个一定1.定轨道平面2.定运行周期：T ＝24h3.定运动高度：km R GMTh 4322106.34⨯=-=π4.定运行速率：s km /0.3=υ13．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12h 内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球的自转周期为T ，不考虑大气对光的折射。