第11讲立体图形［内容概述】各种涉及长方体、立方体、圆柱、圆锥等立体图形表面积与体积的计算问题，解题时考虑沿某个方向 的投影常能发挥明显的作用•较为复杂的是与剪切、拼接、染色等相关联的立体几何问题•［典型问题1 邈翅级数：♦ ♦第六届：“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛第12题（略有改动）1 •用棱长是1厘米的立方块拼成如图 11-1所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米【分析与解】显然，图11-1的图形朝上的面与朝下的面的面积相等， 都等于3X3=9个小正方形的面积，朝左的面和朝右的面的面积也相等，等于7个小正方形的面积；朝前的面和朝后的面的面积也相等，都等于7个小正方形的面积，因此，该图形的表面积等于 （9+7+7） X 2=46 个小正方形的面积，而每个小正 方形面积为I 平方厘米，所以该图形表面积是46平方厘米.1993年全園小挙救学奧科匹克•初赛A 卷第10題2•如图11-2，有一个边长是 5的立方体，如果它的左上方截去一个边分别是5, 3, 2的长方体,那么它的表面积减少了百分之几？【分析与解】 原来正方体的表面积为5 X 5X6=150.现在立体图形的表面积截了两个面向我们的侧面， 它们的面积为（3 X 2） X 2=12, 12十150=0.08=8 %.即表面积减少了百分之八.3 .如图11-3，一个正方体形状的木块，棱长 I 米，沿水平方向将它锯成 3片，每片又锯成4长条,每条又锯成5小块，共得到大大小小的长方体 60块.那么，这60块长方体表面积的和是多少平方米’觀®级数：*11 - 1【分析与解】我们知道每切一刀，多出的表面积恰好是原正方体的2个面的面积.现在一共切了（3-1）+（4-1）+（5-1）=9 刀，而原正方体一个面的面积1X 1=1（平方米），所以表面积增加了9X 2X仁18（平方米）.原来正方体的表面积为6X仁6（平方米），所以现在的这些小长方体的表积之和为6+18=24（平方米）.働邇帧空車k北密乜三墮竺春卅敕峑竞赛•决赛第二題第］题4•图11-4中是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长I厘米的正方体，做成一种玩具.它的表面积是多少平方厘米？【分析与解】原正方体的表面积是4X 4X 6=96（平方厘米）.每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分•总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形.从而，它的表面积是96+4X 6=120平方厘米.翁矽级数：♦♦1^89年全国小学数学见林匹克•初界第12题5 .图11-5是一个边长为2厘米的正方体.在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方1体小间；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为丄厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同,21边长为丄厘米•那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？4【分析与解】因为每挖一次，都在原来的基础上，少了1个面，多出了5个面，即增加了4个面.所以，最后得到的立体图形的表面积是：11 112X 2X 6+1X l X 4+X X _ X 4+ X X 4=29.25（平方厘米）.2 2 4 46.有大、中、小3个正方形水池，它们的内边长分别是6米、3米、2米.把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了6厘米和4米.如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米•【分析与解】放在中水池里的碎石的体积为3X 3X0.06 : 0.54立方米；放在小水池里的碎石的体积为2X 2X0 .04=0.16立方米；则两堆碎石的体积和为0.54+0.16=0.7 立方米，现在放到底面积为6X 6=36平方米的大水池中，则使大水池的水面升咼0.7十36= 7米=700厘米=1 17厘米360 360 18觀國级数；*第三腐“华券庚金杯”少年數学還请玮复赛第6題7 •如图11-6，从长为13厘米，宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长2米的正方形，然后, 沿虚线折叠成长方体容器•这个容器的体积是多少立方厘米？【分析与解】容器的底面积是（13- 4）X （9 -4）=45（平方厘米），高为2厘米，所以容器得体积为:图1J *645 X 2=90（立方厘米）.北京市第八庙“迎春杯”少年數学邀请赛•决轟第二题第6题8 .今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体.问剩下的体积是多少立方厘米？【分析与解】本题首先要确定三次切下的正方体的棱长，因为21: 15: 12=7 : 5: 4，为了叙述方便, 我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.易知第一次切下的正方体的棱长应为4厘米，第二次切下的正方体棱长为3厘米时符合要求，第三次切下的正方体的棱长为2厘米时符合要求.于是，在长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体中，第一、二、三次切下的正方体的棱长为12厘米、9厘米、6厘米.所以剩下的体积应为：3 3 321 X 15X 12-（12 9 6 ）=1107（立方厘米）.娥）级数;*5215 22 ?—1817.72 （厘第U3电兰逻底金杯”吵年就学邀璋赛•初礬第3题9 .如图11-7，有一个圆柱和一个圆锥，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米.那么，圆锥 体积与圆柱体积的比是多少 ？1【分析与解】 圆锥的体积是丄3需五爲“华罗庵食杯”少年務常邀话賽•决赛口试第23题10 •张大爷去年用长2米、宽1米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形粮囤•今年改用长 米的长方形苇席围成容积最大的圆柱形的粮囤•问：今年粮囤的容积是去年粮囤容积的多少倍2 233 2 32 32亠口,( ——) 所以今年粮囤底面积是 ，咼是2.2 2 4 42）（兰 1） 4.5.411 •一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5厘米，深20厘米，水深15厘米•今将一个底面半径为2厘米，高为18厘米的铁圆柱垂直放人容器中.求这时容器的水深是多少厘米？【分析与解】若铁圆柱体能完全浸入水中，则水深与容积底面积的乘积应等于原有水的体积与圆柱体在 水中体积之和，因而水深为：42 8128所以，圆锥体积与圆柱体积的比是16 :12831: 24.3米宽2 【分析与解】底面周长是3，半径是同理, 去年粮囤底面积是 —,4因此，今年粮囤容积是去年粮囤容积的4.5 倍.3它比铁圆柱体的高度要小，那么铁圆柱体没有完全浸入水中. 此时容器与铁圆柱组成一个类似于下图的立体图形.2 2 2底面积为5 221 ，水的体积保持不变为 5 15 315所以有水深为界i/7（厘米），小于容器的高度20厘米，显然水没有溢出 于是17 6厘米即为所求的水深.7级数：車*n第三届“华罗庚金杯”少年联学邀请赛*初賽第5题12 •如图11-8 ,用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体.问这个物体的表面积是多少平方米 ?（ 取3. 14）10.532.97（平 方米）即这个物体的表面积是 32.97平方米.@@级数;車*車主京市第二十二斥«中小学数爭麓学尸數学解農杷力雇示”读者评逸活动小学高 卓圾頓■■初赛第9題｛略有改那）13 •某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条如图 11-9所示在三个方向上加固•所用尼龙编织条的长分别为365厘米、405厘米、485厘米.若每个尼龙条加固时接头处都重叠5厘米，则这个长方体包装箱的体积是多少立方米？【分析与解】物体的表面积恰好等于一个大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，即【分析与解】长方体中，高+宽=+(365-5)=180 , .................................... ①1高+长= — (405-5)=200 , .................................................................... ②21长+宽= — (485-5)=240 , ...................................................................... ③2②-①得长-宽=20, .......................................................................... ④④+③得长=130，则宽=110,代入①得高=70,所以长方体得体积为:70X 110X 30 =1001000（立方厘米）=1.001（立方米）.「级皺卓*卓北京市第十一届"迎春諮冷学竞赛•决赛第二题第5趣114•有甲、乙、丙3种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的1，乙的棱长是丙的棱长22的2•如果用甲、乙、丙3种木块拼成一个体积尽可能小的大正体，每种至少用一块，那么最少需要3这3种木块一共多少块？【分析与解】设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3.显然，大正方体棱长不可能是4,否则无法放下乙和丙各一个.于是，大正方体的棱长至少是5•事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块（使总的块数尽可能少）；甲种木块需用：5X 5X5 - 1X 3X 3X3 -7X 2X 2X 2=42（块）.因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50（块）.@@级数：**車車第四届“华歹庚金杯”少年数常進请雾・决赛二试第4题15.有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某划面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长；方体分割成棱长为1厘米的小正方体•分割完毕后，恰有一面是红色的小正方体；最多有多少个？【分析与解】一面染红的长方体，显然应将4X5的长方体染红，这时产生20个一面染成红色的小正方体，个数最多.二面染红的长方体，显然应将两个4X5的长方体染红，这时产生40个一面染成红色的小正方体，个数最多.三面染红的长方体，显然应将4X 5, 4X 5, 4X3的面染红，于是产生4X （5+5+3 -4）=36个一面染成红色的小正方体，其他方法得出的一面染成红色的正方体均少于36个.四面染红的长方体，显然应将4X 5, 4X 5, 4X 3, 4X3 的面染红，产生4X （5+5+3+3-2X 4）=32 个一面染成红色的正方体，其他方法得到的一面染成红色的小正方体均少于32 个．五面染红的长方体，应只留一个3X5 的面不染，这时就产生(3- 2) X (5 -2)+(4- 1) X (5+5+3+3-2X 4)=27个一面染成红色的小正方体，其他染法得到的一面染成红色的小正方体均少于27．六面染红的长方体，产生2X[(3 - 2) X (5 -2)+(5- 2)X(4 -2)+(4- 2)X(3-2)]=22 个一面染成红色的小正方体．于是最多得到：22+27+32+36+40+20=177个一面染成红色的小正方体．。