高中数学基础知识
集合
Ⅰ.集合概念与基本关系：
§1-1 . 集合的含义与表示
（1）集合概念： 把一些确定元素组成的总体叫作集合（set ）；集合元素具有三个特征：确定性、互异性、无序性.
（2） 集合的表示方法：
列举法：基本形式为...}...{21，，，，k x x x ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集； 描述法：基本形式为)}(|{x P x x ∈，特征元素x 是元素的代表，元素x 的特征属性为()P x 。
（3）Venn （韦恩图） ：框图、数轴、坐标系曲线图形、直观图等；
（4）集合的字母表示： 通常用大写拉丁字母,...,,C B A 等表示集合。
常用数集的表示：自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R ，
复数集C ；
（5）元素与集合之间的关系是属于（belong to ）或不属于（not belong to ）的关系；分别用符号∈、∉表示。
集合元素的常见形式：数集、点集、图形集或物集等。
§1-2. 集合与集合的关系：
(1)子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集，记作B A ⊆(或A B ⊇），读作“A 包含于B ”（或“B 包含A ”）。
数学语言表述：若B x A x ∈⇒∈，则B A ⊆(或A B ⊇）
(2)集合相等： 如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆），且集合B 也是集合A 的子集（A B ⊆），即集合A 与集合B 的元素是一样的，则称集合A 与集合B 相等，记作B A =。
数学语言表述：若B x A x ∈⇔∈，则B A =。
(3)真子集：如果集合B A ⊆，但存在元素A x B x ∉∈且,，则称集合A 是集合B 的真子集，
记作A ≠
⊂B （或B ≠⊃A ）。
数学语言表述：若A x B x B x A x ∉⇒∈∃∈⇒∈∀,，则A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）。
（4）空集∅： 不含任何元素的集合叫作空集，记作∅，并规定空集是任何集合的子集。
（5）子集的性质：
①空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集：A ⊆Φ ；
②任何集合是其自身的子集：A A ⊆ ；
③子集的传递性：若C B B A ⊆⊆,，则C A ⊆；
④若B A ⊆，则Φ=A 或A ≠⊂B 或B A =；
⑤集合的包容性：若A B A = ，则B A ⊆；若A B A = ，则A B ⊆。
§1-3.集合的子集数公式：
若集合A }...{21n x x x ，，，=，其元素个数为n ，则集合A 的所有子集数为：n 2；
集合A n 2-1；
集合A n 2-2；
Ⅱ.集合间的运算及其关系：
§2-1.集合间的运算：
§2-2.集合运算的性质：
（1）A A A =ΦΦ=Φ ，，U C U =Φ，Φ=U C U ；A A A A A A == ,
（2）补集特征性：Φ==)(,)(A C A U A C A U U ；
)()()(B C A C B A C U U U =，)()()(B C A C B A C U U U =
（3）交换律：A B B A A B B A ==,
（4）分配律：),()()(),()(C A B A C B A C A B A C B A ==）（
（5）集合运算中集合元素个数公式：
)()()()(B A n B n A n B A n -+=（)(A n 表示集A 中元素的个数）
（6）包容性特征：A B A B A B A A B A ⊆⇔=⊆⇔= ;
注：（1）集体元素互异性特征：集体中的元素不能相同，在解含参数集合问题时，易忽视元素互异性特征。
（2）空集特征：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；若B A ⊆,则集A 可能为空集；若B B A = （或A B A = ），则B A ⊆,此时集A 可能为空集；涉及集合可能为空集时，通常与分类讨论思想应用相关。
（3）集合问题中注意元素特征：常见的集合元素特征三类：数集、点集、物集。
（4）集合运算问题，注意集合的连续或离散特征。
Ⅲ.集合问题类型：
【题型1】集合基本问题：集合中的关系；集合中的基本运算
【题型2】集合性质应用；含参数集合综合问题
【题型3】集合新定义运算问题
【题型4】新定义集合中元素特征性问题研究
【题型5】新定义集合问题中研究元素或集合的个数或运算
【题型6】集合的分拆问题
【题型7】集合长度问题
【题型7】理想配集问题
思想方法应用：方程与函数思想；数形结合思想；化归转化思想等.
Ⅳ.集合高考真题
（2017-全国卷理-Ⅱ）2.设集合{}1,2,4A =,{}
240B x x x m =-+=.若{}1A B =,则B =( )
A .{}1,3-
B .{}1,0
C .{}1,3
D .{}1,5
（2017-全国新课标-Ⅲ-理）1．已知集合A={}22(,)1x y x y +=│
，B={}(,)x y y x =│，则B A 中元素的个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
（2012课标卷-理）（1）（集合的表示，离散集合元素的个数）
已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）
()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10
（2018-全国卷-理Ⅱ）（集合元素特征）2．已知集合},,3|),{(22Z y Z x y x y x A ∈∈≤+=，则A 中元素的个数为
A ．9
B ．8
C ．5
D ．4
（2012-课标卷文）(1)（连续集关系，数形结合，二次不等式解集）
已知集合}02|{2<--=x x x A ，}11|{<<-=x x A ，则（ ）
（A ）A ⊂≠B （B ）B ⊂≠A （C ）A=B （D ）A ∩B=∅
（2016乙-Ⅰ理）(1)（连续数集交运算，一次不等式，二次不等式解集） 设集合}034{2<+-=x x x A ，}032{>-=x x B ，则B A =
（A ）)23,3(-- （B ）)23,3(- （C ）)23,1( （D ）)3,2
3( （2016甲-Ⅱ理）(2)（离散集并运算，二次不等式求解）
已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =
（A ）{1} （B ）{12}，
（C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， （2016丙Ⅲ-文）（1）（离散集补运算）设集合}84{}1086420{，，，，，，，
==B A ，则B C A = （A ）}8,4{
（B ）}6,2,0{ （C ）}10,6,2,0{ （D ）}1086420{，，，，，
（2014卷-Ⅰ理）1．（连续数集交运算，二次不等式解集，数轴运用）
已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ）
A ．]1,2[--
B ． )2,1[- C.．]1,1[- D ．)2,1[
（2013课标Ⅰ-文）（1）（离散集交运算）
已知集合{1,2,3,4}A =，2{|,}B x x n n A ==∈,则A B =（ ）
（A ）｛0｝ （B ）｛-1，,0｝ （C ）{0，1} （D ）｛-1，,0，1} （2010文理）（1）（连续集交运算，绝对值不等式）已知集合{||2}A x R x =∈≤},
{4}B x Z =∈≤,则B A =( )
(A)(0,2) (B)[0,2] (C){0,2] (D){0,1,2}
（2009-理）（1）（离散集交、补运算）已知集合}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==,则 B C A N
(A) }{1,5,7 (B) }{3,5,7 (C) }{1,3,9 (D) }{1,2,3。