设平面图形形心 C 的坐标为y c ,z c(1-2)y 轴为图形对称轴，则图形形心必在此轴上 3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为 A 1,A 2,A3……A n 的简单图形组成 直各族图形的形心坐标分别为x.|, y 1 ； x 2, y 2； x 3,y 3"…:,则图形对y惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一 •重点及难点：（一）.截面静矩和形心 1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA ，定义它对任意轴 的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y = xdA dSx = ydA整个图形对y 、z 轴的静矩分别为S y 二 AxdA(1-1)XSx 二 A ydA2.形心与静矩关系图1-1推论1 如果y 轴通过形心（即X = ，则静矩Sy = 0 ；同理， 如果X轴通过形心 （即y = 0），则静矩Sx= 0 ；反之也成立。
推论2 如果x 、y 轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果，且一 轴和x轴的静矩分别为nS y 二％ S yi 二' A i Xii 2 i =1S x = ' S xi =、A i yii 4 i 4截面图形的形心坐标为4.静矩的特征（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的 ，故静矩与坐标轴有 关。
⑵静矩有的单位为m 3。
（3）静矩的数值可正可负，也可为零。
图形对任意形心轴的静矩必定 为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形 心。
⑷ 若已知图形的形心坐标。
则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静 矩。
若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐 标。
组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐 标系的静矩，然后由式（1-4）求出其形心坐标。
（二）•惯性矩惯性积惯性半径1. 惯性矩定义 设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的 极惯性矩定义为(1-3)' A i X i' A i y i(1-4)、Ai -1I p = A^dA (1-5)图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y=.Ax 2dA ,I x 「Ay 2dA(I-6)惯性矩的特征 (1)界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的 ；轴惯性矩是对某一 坐标轴定义的。
(2) 极惯性矩和轴惯性矩的单位为m 4。
(3) 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值 。
(4)图形对某一点的极惯性矩的数值，恒等于图形对以该点为坐标 原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和，即I p 二 J 2dA 二(x 2y 2)dA=l y l x (I-7)A A(5) 组合图形(图I-2 )对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩， 分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之 和，即nnnI T 八 I Q ， I y 八 I yi ， IX 八 I xi（ I-8 ）i=1i=1i=1图I-3X i X 2C 2X nA 2A n y ny 2C iy iA i图I-22. 惯性积定义 设任意形状的截面图形的面积为 A (图1-3),则图形对y 轴 和x 轴的惯性积定义为 I xy = A XydA 惯性积的特征 (1) 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的 。
(2) 惯性积的单位为m 4。
(3)惯性积的数值可正可负，也可能等于零。
若一对坐标周中 有一轴为图形的对称轴，则图形对这一对称轴的惯性积必 等于零。
但图形对某一对坐标轴的惯性积为零 ，这一对坐标轴重且不一定有图形的对称轴。
(4) 组合图形对某一对坐标轴的惯性积，等于各组分图形对同 一坐标轴的惯性积之和，即n1 xy八 1xyi( 1-10)\=13. 惯性半径定义： 任意形状的截面图形的面积为 A (图I-3)，则图形对y 轴和 x 轴的惯性半径分别定义为 惯性半径的特征(1) 惯性半径是对某一坐标轴定义的 (2) 惯性半径的单位为m （3）惯性半径的数值恒取证之(I-9)(I-11)（三）•惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式2l x = Ixc a A（I-12）2I y = I yc b A1 xy ^xCyC^abA（1-13）平行移轴公式的特征（1）意形状界面光图形的面积为 A （图（I-4）；x c，y c轴为图形的形心轴；x, y轴为分别与x c，y c形心轴相距为a和b的平行轴。
（2）两对平行轴之间的距离a和b的正负，可任意选取坐标轴x，y 或形心x c，y c为参考轴加以确定。
（3）在所有相互平行的坐标轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小，但图形对形心轴的惯性积不一定是最小。
图1-4(四)、惯性矩和惯性积的转轴公式•主惯性轴主惯性矩转轴公式转轴公式的特征(1) 角度〉的正负号，从原坐标轴x,y 转至新坐标轴X i ,y i ,以逆时 针转向者为正(图5)。
(2) 原点O 为截面图形平面内的任意点，转轴公式与图形的形心无关。
X 1co0 - I xy sin2：y il x Ty2 I xy s in2：-II x i y isin2-：： ■ I xy coS2:aI y2(3)图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量，等于图形对原点的极惯性矩，即1 x 1 y = 1 x1 T y1 = 1 P主惯性轴、主惯性矩任意形状截面图形对以某一点0为坐标原点的坐标轴x o、y o的惯性积为零(1約0=0)，则坐标轴x o、y o称为图形通过点0的主惯性轴(图6)。
截面图形对主惯性轴的惯性矩1沟,％，称为主惯性矩。
主惯性轴、主惯性矩的确定(1) 对于某一点0,若能找到通过点0的图形的对称轴，则以点0为坐标原点，并包含对称轴的一队坐标轴，即为图形通过点0的一对主惯性轴。
对于具有对称轴的图形(或组合图形)，往往已知其通过自身形心轴的惯性矩。
于是，图形对通过点o 的主惯性轴的主惯性矩，一般即可由平行移轴公式直接计算。
(2) 若通过某一点o没有图形的对称轴，则可以点o为坐标原点，任作一坐标轴x，y为参考轴，并求出图形对参考轴x，y的惯性矩I x，I y和惯性积I xy。
于是,位及主惯性矩分别为tan 2叫2I xyI x - I )/I I+ I |仃T弋2 I x0 _ 1x J」I x I y l +丨2Iy0 2 丫I 2 丿xy 图形通过点0的一对主惯性轴方(I-16)(1-17)主惯性轴、主惯性矩的特征（1） 图形通过某一点0至少具有一对主惯性轴，而主惯性局 势图形对通过同一点0所有轴的惯性矩中最大和最小。
（2） 主惯性轴的方位角：-0，从参考轴x ，y 量起，以逆时针转 向为正。
（3）若图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等，则通过 点o 的所有轴均为主惯性轴，且所有主惯性矩都相同。
（4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴 ，称为形心主惯 性轴。
图形对一对形心主惯性轴的惯性矩，称为形心主惯性 矩。
图1-5 二•典型例题分析例I-a 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩解：计算此截面对于x 轴的静矩S x 时，可以去平行于x 轴的狭长条（见图）作为面 积元素（因其上各点的y 坐标相等），即dA 二b （y ）dy 。
由相似三角形关系，可图1-6b(y)=b (h —y),因此有dA=b (h —y)dy 。
将其代入公式(1-1 )的第二式，即得h hhb h& = A ydA = 0 h (h _ y)dy =b 0 ydy -b(y)yx例题I-a 图解题指导：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩例1-2试确定图示I -b 截面形心C 的位置解：将截面分为？、n 两个矩形。
为计算方便，取x 轴和y 轴分别与界面的底边 和左边缘重合(见图)。
先计算每一个矩形的面积 A 和形心坐标(X i ,P i )如 下：-:y 2dy旦h 06矩形？2A =10 120 = 1200mm10 120x 5mm , y 60mm I 2 I 2矩形n2A— = 10 70 = 700mmx— = 10 70 二45mm ,= 5mm将其代入公式（1-4）,即得截面形心C的坐标为A -X [ T A--x—37500:20mmA- A-1900A y A-y- _75500 y —-—■—A[+A口1900解题指导：此题是将不规则图形划分为两个规则图形利用已有的规则图形的面积和形y：X~:40mm80图I -b例I-3试求图l-c 所示截面对于对称轴x 轴的惯性矩l x 解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成 。
设矩形对于x 轴的惯性矩 x 轴的惯性矩为l x 「，则由公式（I-11）的第一式可知，所给截面的惯性矩：(1)矩形对于x 轴的惯性矩为:I 込,0 2003 卡330 I04mm412 12由图a 可知，半圆形形心到x 轴距离为a 2d ，故在由平行移轴公式，求得每个 半圆形对于x 轴的惯性矩为:将d=80mm 、a=100mm （图a ）代入式（4），即得为I x ，每一个半圆形对于 半圆形对于x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得 。
为此，先求出每个半圆形对于与x 轴平行的形心轴X c（图b ）的惯性矩I xc o 已知半圆形对于其底边的惯性矩为圆形对其直径轴x （图b ）的惯性据之半，二d 4。
即“总。
而半圆形的面积为 A，其形心到底边的距离为 2d（图83 ■:b ） o 故由平行移轴公式（l-10a ）,可以求出每个半圆形对其自身形心轴 x c 的惯性矩为：■d 4■dI xC "x -（组）2人二乩-浮）2型(3)I x= I xc (a4•/)2A=d 一浮)2 3二 128 3二 8■d2 2~d , 2d 、2 二d+ (a +一) ---------3 二 82崔.匚巡)4322 3a -■d将求得的l x 和l x-代入式(1),便得l x=5330 1042 3460 104=12250 104mm 4形心及对自身形心轴的惯性矩 ，结合平行移轴公式计算组合截面图形对组合 截面形心的惯性矩2二(80)4321002+ -----22 100 80、 )= 3460 104mm 4解题指导：此题是将不规则图形划分为若干个规则图形,禾U 用已有的规则图形的面积100常用截面惯性矩计算公式r诃匚=--=64符号意义及单位皐--- 面对x轴的惯性矩(cm* )d--- 而直径(cm)F _如一』)164符号意义及单位：h_ 面对乳轴的惯性矩(cm*)D--- 大径(cm)d--- 卜径(cm)符号意义及单位：£ ---- 长方形敲面对艺轴的惯性(cm*)a---- 长(cm)b---- ■宽(cm)- B&i—方沪+ a页3符号意义及单位：丄--- 惯性矩（cm3R——[]图所示（cm）b——[]图所示（cm）e： - 重心S至！1相应边时距离（cm）&：- 重心S到相应边的距离（cm）a---- []图所示（cm）h---- []图所示（cm）…岀'+加幻=2|出+彌符号意义及单位t勺一■重心S到相应边的距离（cm）H_ |]图所示（an）a_[I图所示®t—D图所示（cm）d_嘔所示（cm）符号意义及单位；A——惯(cm*)B口图所不(cm)b[]图所乔(cm) H--- 口图所不cm)为 -- [1图所不(亡m), 蛟+引？2 * =才12符号意义&单位’\—惯性矩(cm*)B—in图所乎(cm)b-- 口图所示(cm)R_ Q图所示(cm)h-- 口图所示(cm)。