2020年安徽省六安一中高考数学适应性试卷（文科）（7月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈Z|x>−1}，集合B={x|log2x<2}，则A∩B=()A. {x|−1<x<4}B. {x|0<x<4}C. {0,1，2，3}D. {1,2，3}2.设复数z=1+bi(b∈R)，且z2=−3+4i，则z的虚部为()A. −2B. −4C. 2D. 43.已知函数f(x)=e x−(x+1)2(e为自然对数的底数)，则f(x)的大致图象是()A. B.C. D.4.对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩(单位：分)进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为()A. 4B. 3C. 2D. 15.一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为√3π，则该圆锥的体积为()A. 2√3πB. 2√33πC. 4√33πD. 8√33π6. 已知函数f(x)={e x −e −x (x >0)−x 2(x ≤0)，若a =50.01，b =32log 32，c =log 20.9，则有( )A. f(b)>f(a)>f(c)B. f(a)>f(b)>f(c)C. f(a)>f(c)>f(b)D. f(c)>f(a)>f(b)7. 下列命题错误的是( )A. 命题“若xy =0，则x ，y 中至少有一个为零”的否定是：“若xy ≠0，则x ，y 都不为零”B. 对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0；则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0C. 命题“若m >0，则方程x 2+x −m =0有实根”的逆否命题为“若方程x 2+x −m =0无实根，则m ≤0”D. “x =1”是“x 2−3x +2=0”的充分不必要条件8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11+2a 6a 8+a 3a 13=25，则a 72的最大值是( )A. 25B. 254C. 5D. 259. 把函数y =sin2x 的图象沿x 轴向左平移π6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y =f(x)的图象，对于函数y =f(x)有以下四个判断：①该函数的解析式为y =2sin(2x +π3)；②该函数图象关于点(π3,0)对称；③该函数在[0,π6]上是增函数；④函数y =f(x)+a 在[0,π2]上的最小值为√3，则a =2√3.其中，正确判断的序号是( )A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④10. 已知点A 是抛物线x 2=4y 的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m 取最大值时|PA|的值为( )A. 1B. √5C. √6D. 2√211. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=1，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为π3，若对一切实数x ，|x a ⃗ +2b ⃗ |≥|a ⃗ +b ⃗ |恒成立，则|b ⃗ |的取值范围是( )A. [12,∞)B. (12,∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)12. 已知函数f(x)=12ax 2+cosx −1(a ∈R)，若函数f(x)有唯一零点，则a 的取值范围为( )A. (−∞,0)B. (−∞,0)∪[1，+∞)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =2x 2−lnx 在某点处的切线的斜率为3，则该切线的方程为______．14.当实数x，y满足不等式组{x≥03x+y≤4x+3y≥4时，恒有a≥yx+1，则实数a的取值范围是______．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a,b>0)的左、右焦点为F1、F2，点F2关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率是______．16.已知在数列{a n}中，a6=11且na n−(n−1)a n+1=1，设b n=1a n a n+1，n∈N∗，则a n=______，数列{b n}前n项和T n=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2，acosB=(2c−b)cosA．(1)求角A的大小；(2)求△ABC的周长的最大值．18.如图，四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是边长为4的菱形，PA=PC，BD⊥PA，E是BC上一点，且BE=1，设AC∩BD=O．(1)证明：PO⊥平面ABCD；(2)若∠BAD=60°，PA⊥PE，求三棱锥P−AOE的体积．19.已知Q为圆E：x2+(y+1)2=16上一动点，F(0,1)，QF的垂直平分线交QE于点P，设点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知直线l为曲线C上一点A(x0,−1)处的切线，l与直线y=4交于B点，问：以线段AB为直径的圆是否过定点F？请给予说明．20.某企业对某种产品的生产线进行了改造升级，已知该种产品的质量以其质量指标值m衡量，并依据质量指标值m划分等级如表：该企业从生产的这种产品中随机抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值，得到如图的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图估计这100件产品的质量指标值m的平均数x−(同一区间数据用该区间数据的中点值代表)；(2)用分层抽样的方法从样本质量指标值m在区间[150,200)和[200,250]内的产品中随机抽取4件，再从这4件中任取2件作进一步研究，求这2件都取自区间[200,250]的概率；(3)该企业统计了近100天中每天的生产件数，得下面的频数分布表：该企业计划引进新的设备对该产品进行进一步加工，有A，B两种设备可供选择．A设备每台每天最多可以加工30件，每天维护费用为500元/台；B设备每台每天最多可以加工4件，每天维护费用为80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台A设备和800台B设备；方案二：购买200台A设备和450台B设备．假设进一步加工后每件产品可以增加25元的收入，在抽取的这100天的生产件数(同一组数据用该区间数据的中点值代表)的前提下，试依据使用A，B两种设备后的日增加的利润(日增加的利润=日增加的收入−日维护费用)的均值为该公司决策选择哪种方案更好？21.设函数f(x)=e x−x2−x．4(1)证明：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；(2)当x<0时f(x)<a恒成立，求整数a的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，直线l 经过点M(−1,−3√3)且倾斜角为α． (Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程；(Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B ，满足A 为MB 的中点，求tanα．23. 已知f(x)=2|x −m|+m(m ∈R)．(1)若不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，求m 的值；(2)在(1)的条件下，若a ，b ，c ∈R +，且a +4b +c =m ，求证：ac +4bc +4ab ≥36abc ．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x∈Z|x>−1}，集合B={x|log2x<2}={x|0<x<4}，∴A∩B={1,2，3}，故选：D．求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：z2=−3+4i，∴(1+bi)2=−3+4i，1−b2+2bi=−3+4i，∴1−b2=−3，2b=4，解得b=2．则z=1−2i的虚部为−2．故选：A．利用复数的运算法则、复数相等、虚部的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：f′(x)=e x−2(x+1)=0，相当于函数y=e x和函数y=2(x+1)交点的横坐标，画出函数图象如图由图可知−1<x1<0，x2>1，且x>x2时，f′(x)>0，递增，故选：C．求出导函数，利用导函数判断函数的单调性．根据数形结合，画出函数的图象，得出交点的横坐标的范围，根据范围判断函数的单调性得出选项．考查了导函数的应用和利用数形结合的方法判断极值点位置．4.【答案】C【解析】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高130分，平均成绩为低于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110,120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中第四次、第七次成绩较上一次成绩有退步，故④不正确．故选：C．利用图形，判断折线图平均分以及线性相关性，成绩的比较，说明正误即可．本题考查折线图的应用，线性相关以及平均分的求解，考查转化思想以及计算能力．5.【答案】D【解析】解：作出该几何体的轴截面图如图，BC=2，BD=1，设内接圆柱的高为h，由π×12×ℎ=√3π，得ℎ=√3．∵△CAB∽△CED，∴EDAB =CDCB，即√3AB=12，得AB=2√3，∴该圆锥的体积为13×π×22×2√3=8√33π．故选：D．由题意画出图形，由圆柱的体积求得圆柱的高，再由相似三角形对应边成比例求得圆锥的高，则圆锥体积可求．本题主要考查了圆锥的内接圆柱的体积，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．6.【答案】B【解析】解：f(x)在(0,+∞)上是增函数，且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，b=log3812，50.01>50=1，c=log20.9<log21=0，∴0<b<1，a>1，c<0，∴f(a)>f(b)>0>f(c)，∴f(a)>f(b)>f(c)．故选：B．根据f(x)的解析式即可判断f(x)在(0,+∞)上是增函数，并且x>0时，f(x)>0，x<0时，f(x)<0，并且可判断a>1>b>0>c，从而可得出f(a)，f(b)和f(c)的大小关系．本题考查了指数函数的单调性，增函数的定义，对数的运算，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据命题的否定值否定命题的结论，故A不正确，B选项是一个特称命题的否定，变化正确，C选项是写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，正确D选项由前者可以推出后者，而反过来不是只推出X=1，故D正确，故选：A．根据命题的否定值否定命题的结论，特称命题的否定要求的变化B选项都有，写一个命题的逆否命题，需要原来的命题题设和结论都否定再交换位置，得到C正确，根据一元二次方程的解，得到D正确．本题考查命题的否定，考查特称命题的否定，考查一个命题的逆否命题，考查必要条件，充分条件与充要条件的判断，是一个综合题目．8.【答案】B【解析】解：由等比数列的性质可得：a1a11=a62，a3a13=a82，∵a1a11+2a6a8+a3a13=25，a n>0．∴a62+2a6a8+a82=25=(a6+a8)2≥(2√a6a8)2，∴a6a8≤254，又a6a8=a72，∴a72的最大值是254．故选：B．利用等比数列的性质、基本不等式的性质即可得出结论．本题考查了等比数列的性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：把函数y=sin2x的图象沿x轴向左平移π6个单位，得到y=sin2(x+π6)，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)后得到函数y=f(x)=2sin(2x+π3).①该函数的解析式为y=2sin(2x+π3)，正确；②当x=π3时，f(π3)=2sinπ=0，该函数图象关于点(π3,0)对称，正确；③当x∈[0,π6]时，2x+π3∈[π3,2π3]，该函数在[0,π6]上不单调，故③错误；④当x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值为−√3+a，由−√3+a=√3，得a=2√3，故④正确．∴正确判断的序号是①②④．故选：D．由函数的图象平移与伸缩变换求得f(x)的解析式判断①；求出f(π3)=0判断②；由x的范围求得2x+π3的范围判断③；求出函数y=f(x)+a在[0,π2]上的最小值，结合已知求得a判断④．本题考查命题的真假判断与应用，考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象与性质，是中档题．10.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m 取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F(0,1)，准线方程为y=−1，且由题意可得A(0,−1)．过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=1m，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx−1，代入x2=4y，可得x2=4(kx−1)，即x2−4kx+4=0，∴Δ=16k2−16=0，∴k=±1，∴P(2,1)，∴|PA|=√4+4=2√2．故选：D．11.【答案】C【解析】解：∵|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，∴|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |，化为x2a⃗2+4b⃗ 2+4x a⃗⋅b⃗ ≥a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ ，即x2+2x|b⃗ |+(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≥0，∵对一切实数x，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |恒成立，∴△=4|b⃗ |2−4(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≤0，化为(2|b⃗ |+1)(|b⃗ |−1)≥0，解得|b⃗ |≥1．故选：C．由|a⃗|=1，a⃗与b⃗ 的夹角为π3，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |，化为x2a⃗2+4b⃗ 2+4x a⃗⋅b⃗ ≥a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ ，即x2+ 2x|b⃗ |+(3|b⃗ |2−|b⃗ |−1)≥0，由于对一切实数x，|x a⃗+2b⃗ |≥|a⃗+b⃗ |恒成立，可得△≤0，解出即可．本题考查了数量积运算及其性质、一元二次不等式的解法与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：当a=0时，f(x)=cosx−1，显然此时函数f(x)的零点不唯一，不合题意，故可排除选项C；依题意，方程cosx=−12ax2+1有唯一解，即函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象有唯一交点，当a<0时，如图，ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项D；函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12当a>0时，如图，ax2+1的开口越小，由图可知，由二次函数的性质可知，函数ℎ(x)的开口向下，且a越大，函数ℎ(x)=−12ax2+1的图象显然只有唯一交点(0,1)，符合题意，故可排除选项A；此时函数g(x)=cosx与函数ℎ(x)=−12故选：B．当a=0，由余弦函数的周期性可知，此时函数f(x)的零点不唯一，当a≠0时，问题等价于函数g(x)=cosx ax2+1的图象有唯一交点，分a>0及a<0三种情况讨论，结合图象即可得出结论．与函数ℎ(x)=−12本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想及转化思想的运用，该题也可以利用导数分类讨论得解，但作为选择题，采用分类讨论加排除法，可以快速而有效的得出答案，是考试中的必备技巧，属于中档题．13.【答案】3x−y−1=0【解析】解：由y′=4x −1x =3得：x =1,或x =−14(舍)． 所以切点坐标为(1,2).故切线方程为y −2=3(x −1)． 即3x −y −1=0． 故答案为：3x −y −1=0．先利用已知的切线斜率，列方程求出切点的横坐标，然后代入原函数求出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程．本题考查导数的几何意义以及切线方程的求法．属于基础题．14.【答案】[4,+∞)【解析】解：不等式组对应的可行域为图中的阴影区域．由题a ≥yx+1，yx+1=y−0x−(−1)表示平面区域内的点(x,y)与点B(−1,0)连线的斜率． 当(x,y)取点A(0,4)时，yx+1的最大值为40+1=4，所以a ≥4．故答案为：[4,+∞)．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．本题考查线性规划的简单应用，画出约束条件的可行域，判断目标函数的几何意义是解题的关键．15.【答案】2【解析】解：双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a,b >0)的左焦点为F(−c,0)，渐近线方程为y =±ba x ，设F 关于y =b a x 的对称点为(m,−ba m)， 由题意可得bm a−c−m=−ab ，(∗)且12(0−ba m)=12⋅ba (m −c)， 可得m =1c ，代入(∗)可得b 2=3a 2，c2=a2+b2=4a2，则离心率e=ca=2．故答案为：2．设双曲线的左焦点为F(−c,0)，求出渐近线方程，设F关于y=ba x的对称点为(m,−bam)，由中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为−1，解方程可得2m=c，代入可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，点关于直线的对称问题的解法，考查运算化简能力，属于中档题．16.【答案】2n−1，n∈N∗n2n+1【解析】解：由na n−(n−1)a n+1=1，可得a1=1，由a6=11，可得a5=9，a4=7，a3=5，a2=3，猜想a n=2n−1，n∈N∗，由na n−(n−1)a n+1=n(2n−1)−(n−1)(2n+1)=1恒成立，则a n=2n−1，n∈N∗成立，则b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，T n=12(1−13+13−15+15−17+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1．故答案为：2n−1，n∈N∗，n2n+1．由数列的递推式可得数列的前5项，猜想a n=2n−1，n∈N∗，代入检验可得所求通项公式；再由数列的裂项相消求和，可得所求和．本题考查数列的通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)由已知，得acosB+bcosA=2ccosA．由正弦定理，得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，即sin(A+B)=2sinCcosA，因为sin(A+B)=sinC，所以sinC=2sinCcosA．因为sinC≠0，所以cosA=1因为0<A<π，；所以A=π3(2)由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，得bc+4=b2+c2，即(b+c)2=3bc+4．)2，因为bc≤(b+c2(b+c)2+4．所以(b+c)2≤34即b+c≤4(当且仅当b=c=2时等号成立)．所以a+b+c≤6．所以△ABC周长的最大值为6．【解析】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．.由范围(1)由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式得sinC=2sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA=120<A<π，可求A的值．(2)由余弦定理，基本不等式可求b+c≤4，即可得解．18.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，O是AC的中点，∵BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，∵PO⊂平面PAC，∴BD⊥PO，∵PA=PC，O是AC的中点，∴PO⊥AC，∵AC∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．(2)解：由四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，得△ABD和△BCD都是等边三角形，∴BD=AB=4，∵O是BD的中点，∴BO=2，在Rt△ABO中，AO=√AB2−BO2=2√3，在Rt△PAO中，PA2=AO2+PO2=12+PO2，取BC的中点F，连结DF，则DF⊥BC，∴在Rt△POE中，PE2=OE2+PO2=3+PO2，在△ABE中，由余弦定理得AE2=AB2+BE2−2AB⋅BEcos120°=21，∵S △AOE =S △ABC −S △ABE −S △COE=12×4×4×sin120°−12×4×1×sin120°−12×3×√3=3√32， ∴三棱锥P −AOE 的体积V P−AOE =13S △AOE ⋅PO =13×3√32×√3=32．【解析】(1)推导出BD ⊥AC ，BD ⊥PA ，从而BD ⊥平面PAC ，BD ⊥PO ，推导出PO ⊥AC ，由此能证明PO ⊥平面ABCD ．(2)取BC 的中点F ，连结DF ，则DF ⊥BC ，由余弦定理得PO =√3，S △AOE =S △ABC −S △ABE −S △COE ，三棱锥P −AOE 的体积V P−AOE =13S △AOE ⋅PO ，由此能求出结果．本题考查线面垂直、三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由已知得圆E 的圆心为(0,−1)，半径为4，|PQ|=|PF|，∴|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2， ∴点P 在以E ，F 为焦点的椭圆上， 2a =4，c =1，∴a =2，b =√3， ∴曲线C 的方程为y 24+x 23=1．(2)曲线C 的方程为y 24+x 23=1令y =−1，解得x =±32，所以A(±32,−1)，不妨取A(−32,−1)， 设l ：y +1=k(x +32)，代入y 24+x 23=1，整理可得(3k 2+4)x 2+(9k 2−6k)x +274k 2−9k −9=0，△=0⇒k =−2，∴直线l 的方程为2x +y +4=0，∴B(−4,4)，则FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−2)⋅(−4,3)=0，∴以线段AB 为直径的圆过定点F ．【解析】(1)由已知得|PQ|=|PF|，|PE|+|PF|=|PE|+|PQ|=|QE|=4>|EF|=2，可判断点P 的轨迹是以E ，F 为焦点的椭圆，即可得轨迹方程；(2)求出A 点坐标A(±32,−1)，不妨取A(−32,−1)，设l ：y +1=k(x +32)，代入y 24+x 23=1，△=0⇒k =−2，可得l 方程，进而求点点B 坐标，计算FA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得结论．本题主要考查椭圆的定义及标准方程，直线与椭圆的位置关系，向量数量积的运用，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意得x−=175×0.05+225×0.15+275×0.2+325×0.3+1375×0.2+ 425×0.1=312.5；(2)因为区间[150,200)和[200,250]上的频率之比为1：3，所以应从区间[150,200)上抽取1件，记为A1，从区间[200,250]上抽取3件，记为B1，B2，B3，则从中任取两件的情况有(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共6种，其中两件都取自区间[200,250]上：的情况有(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)共3种；所以其概率为P=36=12．(3)每天生产件数的频数分布表为：若采用方案一，使用100台A设备和800台B设备每天可进一步加工的件数为30×100+4×800=6200(件)，可得实际加工件数的频数分布表为：所以方案一中使用A，B设备进一步加工后的日增加的利润均值为25×(6000×20+6200×80)100−500×100−80×800=40000(元)；若采用方案二，使用200台A设备和450台B设备每天可进一步加工的件数为30×200+4×450=7800(件)，可得实际加工件数的频数分布表为；所以方案二中使用A，B设备进一步加工后的日增加的利润均值为25×(6000×20+7000×30+7800×50)100−500×200−80×450=44000(元)．综上所述，公司应该选择方案二．【解析】(1)由频率分布直方图求平均数即可；(2)利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值；(3)分别计算方案一、方案二所获得利润值，比较即可．本题考查了频率分布直方图与概率的计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21.【答案】证明：(1)因为f′(x)=e x −x 2−1，记ℎ(x)=f′(x)，所以ℎ′(x)=e x −12，(1分)当x ∈(0,+∞)时，ℎ′(x)>0恒成立，所以，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增， 所以ℎ(x)>ℎ(0)=0.所以当x ∈(0,+∞)时，f′(x)>0恒成立， 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增．(3分)(2)由(1)知，ℎ′(x)=e x −12，令ℎ′(x)=0解得x =−ln2， 当x ∈(−∞,−ln2)时，ℎ′(x)<0，即ℎ(x)单调递减； 当x ∈(−ln2,0)时，ℎ′(x)>0，即ℎ(x)单调递增．(5分)又ℎ(−1)<0，ℎ(−2)>0，所以在(−2,−1)上存在唯一x 0，满足ℎ(x 0)=0，即f′(x 0)=0. (6分) 当x ∈(−∞,x 0)时，f′(x)>0，即f(x)单调递增；当x ∈(x 0,0)时，f′(x)<0，即f(x)单调递减， 所以当x <0时，f(x)max =f(x 0)=e x 0−x 024−x 0.(8分)由f′(x 0)=0可得e x 0=x 02+1，所以f(x)max =−x 024−x 02+1，由x 0∈(−2,−1)，可得f(x)max ∈(1,54).(10分)因为f(x)<a 恒成立且a ∈Z ，所以整数a 的最小值为2.(12分)【解析】(1)先对函数求导，结合导数可求函数的单调性即可，(2)转化为求解函数f(x)的最大值，结合导数与单调性的关系及函数的性质，零点判定定理可求． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及最值，以及由不等式的恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．22.【答案】解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=4，即x 2+y 2=4x ， ∵x =ρcosθ，ρ2=x 2+y 2，可得ρ2=4ρcosθ，化简为ρ=4cosθ， ∴曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．直线l 的参数方程：{x =−1+tcosαy =−3√3+tsinα(t 为参数，0≤α≤π)； (Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ． 将直线l 的参数方程代入C 并整理， 得t 2−6t(√3sinα+cosα)+32=0，又A 为MB 的中点，∴t B =2t A ，因此t A =2(√3sinα+cosα)=4sin(α+π6)，t B =8sin(α+π6)， ∴t A ⋅t B =32sin 2(α+π6)=32， 即sin 2(α+π6)=1． ∵0≤α≤π，∴π6≤α+π6<7π6．从而α+π6=π2， 即α=π3,tan π3=√3．【解析】(Ⅰ)由曲线C 的参数方程为{x =2+2cosθy =2sinθ(θ为参数)，消去参数θ，可得曲线C 的普通方程x 2+y 2=4x ，结合x =ρcosθ，ρ2=x 2+y 2，可得曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ.由直线l 过定点及倾斜角为α，直接写出直线l 的参数方程；(Ⅱ)设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B .将直线l 的参数方程代入C 并整理，得到关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查直线的参数方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，考查计算能力，是中档题．23.【答案】解：(1)∵不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，∴{2|12−m|+m =22|32−m|+m =2，∴m =1．(2)由(1)知，a +4b +c =m =1，∴ac +4bc +4ab 4abc =(1a +14b +1c)⋅(a +4b +c)≥(√a √a +4b √4b √c√c)2=9． ∴ac +4bc +4ab ≥36abc ，当且仅当a =4b =c ，即a =c =13，b =112时等号成立， ∴ac +4bc +4ab ≥36abc ．【解析】(1)直接根据不等式f(x)≤2的解集为[12,32]，得到关于m 的方程，再解出m 即可；其最小值，即可证明ac+4bc+4ab≥36abc成立．本题考查了不等式的解集与方程的关系，利用基本不等式求最值和利用综合法证明不等式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．。