立体几何复习精选
一．选择
10 1模
5．已知p ：直线a 与平面α无数条直线垂直，q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
三．大题
18．如图5所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是半径为R 的圆的接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，ADP BAD △∽△． （1）求线段PD 的长；
（2）若11
PC
R
=，求三棱锥P ABC
-的体积．
C
P
A
B
图5
D
09 1模
如图4，A A 1是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，
C 是底面圆周上异于,A B 的任意一点， 12AA AB ==．
（1）求证：BC ⊥平面AC A 1；
（2）求三棱锥1A ABC -的体积的最大值．
18在长方体1111112,ABCD A B C D AB BC A C -==中，过、、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图4所示的几何体111ABCD A C D -，且这个几何体的体积为
403。

（1）证明：直线1A B ∥平面11CDD C ; （2）求棱1A A 的长;
（3）求经过11A C 、、B 、D 四点的球的表面积。

10 1模
A
B
17．（本小题满分14分）
如图6，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面
CDE ，且3AE =，6AB =．
（1）求证：AB ⊥平面ADE ；
（2）求凸多面体ABCDE 的体积．
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD ；
（2）求点O 到平面ABM 的距离．
B
18．解：（1）
BD 是圆的直径90BAD ∴∠=，又ADP BAD △∽△，
AD DP BA AD ∴=，2223
4(sin 60)431(
sin
30)
22
R AD BD DP R BA BD R ⨯
===
=⨯； （2）在Rt BCD △中，
cos 452CD BD R
==2222229211PD CD R R R PC +=+==
PD CD ∴⊥，又90PDA ∠=PD ∴⊥底面ABCD
2
11
321231sin(6045)222
22224ABC S AB BC R R R ⎛⎫+=
+=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝
⎭△ 三棱锥P ABC -的体积为23
11
3131333
44
P ABC ABC V S PD R R R -++===△
（1）证明：∵C 是底面圆周上异于A 、B 的一点，且AB 为底面圆的直径，
∴BC AC ⊥． …… 2分 ∵1AA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，
∴1BC AA ⊥. …… 4分 ∵⊂=11,AA A AC AA 平面AC A 1,⊂AC 平面AC A 1, ∴BC ⊥平面1A AC ． …… 6分
（2）解法1:设AC x =,在Rt △ABC 中，2224BC AB AC x =--0＜x ＜2)，
故1
11111332
A ABC ABC V S AA AC BC AA -∆=⋅=⨯⋅⋅2
143x x =-0＜x ＜2),
即1
22222
1114(4)(2)4333
A ABC V x x x x x -=-=---+ ∵2
02,04x x <<<<,
∴当2
2x =，即2x =1A ABC -的体积的最大值为
3
2
． 解法2: 在Rt △ABC 中，42
2
2
==+AB BC AC , BC AC A A A A S V ABC ABC A ⨯⨯⨯⨯=⋅=
-213131111∆ BC AC ⨯⨯=3
1
2312AB ⨯= 3
2
=. 当且仅当BC AC =时等号成立，此时2==BC AC ∴三棱锥ABC A -1的体积的最大值为3
2
.
（1）证法1：如图，连结1D C ，∵1111ABCD A B C D -是长方体， ∴11A D BC 且11A D BC =．∴四边形11A BCD 是平行四边形． ∴11A B D C ．∵1A B ⊄平面11CDD C ，1D C ⊂平面11CDD C ，
∴1A B
平面11CDD C ．
（2）解：设1A A h =，∵几何体111ABCD AC D -的体积为40
3
， ∴1111111111403ABCD A C D ABCD A B C D B A B C V V V ---=-=即11114033
ABCD A B C S h S h ∆⨯-⨯⨯=， 即1140
2222323
h h ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=
，解得4h =．∴1A A 的长为4．
（3）如图，连结1D B ，设1D B 的中点为O ，连11OA OC OD ，，，
∵1111ABCD A B C D -是长方体，∴11A D ⊥平面1A AB ． ∵1A B ⊂平面1A AB ，∴11A D ⊥1A B ．
∴1112OA D B =
．同理111
2
OD OC D B ==． ∴11OA OD OC OB ===．
∴经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的球心为点O ．
∵2222222
111124224D B A D A A AB =++=++=．
∴()
2
2
21144242D B S OB D B ππππ⎛⎫
=⨯=⨯=⨯= ⎪⎝⎭
球．
故经过1A ，1C ，B ，D 四点的球的表面积为24π． 10-1
1）证明：∵AE ⊥平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，
∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， ∵AD AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．
∵AB
CD ，
∴AB ⊥平面ADE ．
A B
C
D E F
A
B
C
D
E
最后：（1）证：依题设，Ｍ在以ＢＤ为直径的球面上，则ＢＭ⊥ＰＤ. 因为ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，则ＰＡ⊥ＡＢ，又ＡＢ⊥ＡＤ，
所以ＡＢ⊥平面ＰＡＤ，则ＡＢ⊥ＰＤ，因此有ＰＤ⊥平面ＡＢＭ，所以平面ＡＢＭ⊥平面ＰＣＤ.
（3）因为O 是BD 的中点，则O 点到平面ABM 的距离等于D 点到平面ABM 距离的一半，由（1）知，ＰＤ⊥平面ＡＢＭ于M ，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离.
因为在Rt △PAD 中，4PA AD ==，PD AM ⊥，所以M 为PD 中点，22DM =，则O 点到平面ABM 的距离等于2。

11-1。