极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。

极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。

极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变。

极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限（定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限，x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。

函数的极限等等。

本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三，触类旁通。

1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。

数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解.本章节就着重介绍数列极限的一些求法。

1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。

若对任给的正数N ，使得n 大于N 时有ε<-a a n则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限，并记作,lim n a n a =∞→或)(,∞→∞→n a n读作当n 趋于无穷大时，{}n a 的极限等于a 或n a 趋于a 例证明2322n lim -∞→n n 解 由于)3n 93n 9323222≥≤-=--（nn n 因此，对于任给的ε>0,只要ε<n9，便有 ε<--33322n n即当n ε9>时，（2）试成立。

又因为（1）式是在3≥n 的条件下也成立，故应取.9,3max ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=εN在利用数列的N -ε定义时，应意识到下几点1.ε的任意性 定义中的正数ε的作用在于衡量数列通项{}n a 与定数a 的接近程度，ε越小，表示接近的愈好；而正数ε可以任意的小，说明{}n a 与a 可以接近到任何程度。

然而，尽管ε有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又1.2 利用极限的四则运算极限的四则运算法则若{n a }与{n b }为收敛数列，则{n n a b +}，{n n a b -}，{n n a b •}也都是收敛数列，其有lim()lim lim()lim lim n n n nn n n n n nn n n a b a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞±=±•=例求n 解==由111()n n+→→∞ 得1lim 2n n == 1.3利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即 若数列{}n a 的各项关系式，)(11++≥≤n n n n a a a a则称{}n a 为递增（递减）数列。

递增数列和递减数列统称为单调数列。

有界性即M 存在使得对于一切正整数n,有M a n ≤这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:(1)判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A 。

（2）建立数列相邻两项之间的关系式。

（3）在关系式两端取极限，得以关于A 的方程，若能解出A ，问题就可以解决了。

一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第n 项和第n+1项的关系式。

首先应用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证有界，再证单调）。

由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限，其中（a>0）极限解:设0x，1x ==11,1,2...)n x n +==则{n x }是单调有界数列，它必有极限，设其极限为A 在1n x +=A =20A A a --=所以A =A>0所以A =即1lim 2n n x →∞=例设x 0>0, a >0,x 1n +=21(x n +x na ), n=0,1,2….z 证明数列{}x n 的极限存在，并求之。

证明：易见x n >0,n=0,1,2….所以有x 1n +=21(x n+x na )≥xn.xna=ax 1n +=21(x n +x n a )≥21(x n +x x nn 2)=x n=)(1)(1121a a a ll n-+--+由0<l<1,故lim n ∞→0)(-=n l ，从而lim n ∞→=a n lim n ∞→a n 1+=l l la a a a a ++=+-+1121121 aann n 1lim+∞→=11lim lim limn =+∞→∞→∞→a a nn n n1.4利用迫敛法则利用迫敛法则求极限主要利用放缩法将其同时放大或缩小成俩个已知数列。

（已知数列的极限相同）即设数列{}n a ,{}n b 都以a 为极限，且存在0N ,使得当n>0N 时b c a n n n ≤≤则数列{}n c 收敛，且a c n n =∞→lim 。

由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等例 求limn ∞→)n 26.4.21-n 25.3.1（）（ΛΛ解 ：记x n =)n 26.4.21-n 25.3.1（）（ΛΛ ，y n =)1n 27.5.32(6.4.2+（）ΛΛn 显然x n <y n ,n=1.2…,所以即数列{}x n单调递减有下界，极限存在。

记lim n ∞→xn=A , 对关系式x 1n +=21(x n +x na ) 令n →∞取得极限得到A=a .(其中A=-a <0，因不合舍去) 例 设 a i﹥0（i=1，2，3…m ）,记 M=max(a 1,a 2,…a m )。

证明limn ∞→a n 1+a n 2+…a m n=M n证明：因M n<a n1+a n2+…a m n<m Mn→M (n →∞)即 limn ∞→a n1+a n2+…a m n=M n1.5利用递推关系有些题目中数列的单调性不易证得时就不能应用单调有界定理，此时可尝试采用递推关系应用压缩原理去解决.这些题目一般都给我们一个递推式)(1n n a f a =+，但单调性不易或根本无单调性，例 设 a 1，a 2为任意取定的实数，且a 12+a 22≠0，定义a a a n n n l k 11-++=① 其中，k ,l 为正数，且,1=+l k n=1,2….试求aa nn n 1lim +∞→证明 由,1=+l k 即0< k<1,0<l <1.由①式得l a a a a n n n l 21n 1)(-=--=-+（)()12121a a la a n n n -=----Λa a a a a a a an n n n n 112111)()()(+-+-+-=-++Λ=a a a l l l n n 11221))](1)()[(+++-++-+---Λ所以有0<x n 2<x nyn=1n 21+ 即0<xn<1n 21+→0，(n →∞) 故lim n ∞→xn=01.6利用上下极限一个有界数列未必存在极限，但它一定有上下极限，且有界数列极限存在的充要条件是其上下极限相等。

对于一个有界数列{}n a 取掉它的最初K 项以后，剩下来的仍旧是一个数列，记这个数列的上确界为k β ，下确界为k α亦即k β={}{}Λ32,1kn ,sup sup +++>=k k k n a a a ak α={}{}Λ32,1,inf inf +++>=k k k n kn a a a a可见k α< k β,Λ3,2,1=k 令于是可以得到一列{}k β和一列{}k α,显然{}k β是单调递减的，{}k α是单调递增的，所以这两个数列的极限都存在，我们称{}k β的极限为数列{}n a 的上极限，{}k α为数列{}n a 的下极限。

我们可根据上下极限处理一些极限问题 例 设lim n ∞→x n =A.求证limn ∞→=+++nn n x x x n 1322121Λ A证明 由lim n ∞→x n =A,知对任给0>ε，存在N,使得当n>N 时，有 A-ε<x n <A+ε于是y n =n n nx x x n1322121+++Λ =)121(1)1N N 3221(1121x x x x x nN N n nN N n n ++++++++++ΛΛ ≤))(n (1)1N N 3221(121ε+-+++++A N nn x x x N Λ两边取上极限得ε+≤∞→A ny n lim同理可证ε-≥∞→A y nn lim _____于是ε-≥∞→A y nn lim _____于是≤-εA y nn lim _____∞→≤limn ∞→y n≤ε+≤∞→A n y n lim由ε的任意性得limn ∞→A y=n亦即limn ∞→=+++nn nx x x n 1322121Λ A1.7利用stolz 定理Stolz 定理 若所求极限为x y nn 型，且{}y n 是单调增加的无穷大量.。

且limn ∞→yy x x n nn n 11----=a 则 limn ∞→xy nn =a或 {}n x ，{}n y 都是无穷小量，且{}n y 是严格单调减少数列，且1n 1limn n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞)，则n lim n nxa y →∞=证明{}n y 是严格单调增加的正无穷大量，且1n 1limn n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞)则n limnnx a y →∞= 证：(1) 考虑a = 0的情况由1n 1lim 0n n n n x x y y -→∞--=-，有11,,(),n n n n x x N n n N y y εε---∀∃∀><-即11n n n n x x y y ε---<-则 1121n n n n n N N N x x x x x x x x ---+=-+-++-+L 1121n n n n N N N x x x x x x x ---+≤-+-++-+L1121n n n n N N N y y y y y y x ε---+≤⎡-+-++-⎤+⎣⎦Ln y 是严格单调增加的，因此1121N n n n n n N Nn n nx x y y y y y y y y y ε---+-+-++-≤+L N n n Nn n n x x y y y y y ε-≤+ N nn nx x y y ε≤+ n y 是正无穷大量22,(),Nnx N n n N y ε∃∀>< 取'2N max(,)1N N =+，'()n n N ∀>有2nnx y ε≤ 所以n lim0nnx y →∞= (2) 当a 是非零有限数时，令'nn n x x ay =-，于是由 ''11n n 11lim lim 0n n n n n n n n x x x x a y y y y --→∞→∞----=-=-- 得到'n lim 0n n x y →∞=，从而'n n lim lim n nn nx x a a y y →∞→∞=+=(3) a =+∞的情况首先'11,(),n n n n N n n N x x y y --∃∀>->-说明{n x }也严格单调增加，且从n N n N x x y y ->-可知{n x }是正无穷大量将前面的结论应用到n n y x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，得到11limlim 0n n n n n n n n y y y x x x -→∞→∞--==- 因而n limnnx y →∞=+∞ (4) 对于a =-∞的情况，证明方法类同2． {}n x ，{}n y 都是无穷小量，且{}n y 是严格单调减少数列，且1n 1limn n n n x x a y y -→∞--=-(a 为有限量，+∞与-∞)，则n limnnx a y →∞= 证： a 为有限量因11n n 11limlim n n n n n n n n x x x x a y y y y +-→∞→∞+---==--，所以11,,(),22n n n n x x N n n N a a y y εεε++-∀∃∀>-<<+-，其中10n n y y +->111()()()()22n n n n n n a y y x x a y y εε+++--<-<+-采用类似定理1的证明，可以得到()()()()22n n p n n p n n p a y y x x a y y εε+++--<-<+-令p →+∞，且0n p x +→，0n p y +→利用Stolz 定理时，应注意验证题目所给数列是否满足定理的内容 例 求极限lim n ∞→nnk kk1k21+++Λ解 经检验分母1n +k ∞→，时，∞→n 且单调递增，所以满足条件。