4. (2011· 山东高考)曲线 y＝x3＋11 在点 P(1，12)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( A．－9 C．9 B．－3 D．15
[解答] y′＝3x2，故曲线在点 P(1,12)处的切线斜率是 3，故切线方程是 y－12＝3(x－1)，令 x＝0 得 y＝9. [答案] C 5．(教材习题改编)曲线 y＝ sin x 在点 M(π，0)处的切线方程是________． x －π 1 ∴f′(π)＝ 2 ＝－ . π π
【典型例题讲解】
导数的计算
[例 1]、求下列函数的导数
1
y x13 ；
2 y
x3 ；
3 y x 3 ；
1
4 y 5 x2 ；
5 y 2 x 2 3 3 x 2 ；
6
1 1 y x x2 3 ； x x
1
拓扑教育
直线可能有多条．
纳百川，容学问，立德行，善人品
(2)曲线 y＝f(x)过点 P(x0，y0)的切线，是指切线经过 P 点．点 P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的
3．过圆上一点 P 的切线与圆只有公共点 P，过函数 y＝f(x)图象上一点 P 的切线与图象也只有公共点 P 吗？ 提示：不一定，它们可能有 2 个或 3 个或无数多个公共点． 2．几种常见函数的导数 原函数 f(x)＝c(c 为常数) f(x)＝xn(n∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ax f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x 导函数 f′(x)＝0 f′(x)＝nxn
－1
f′(x)＝cos_x f′(x)＝－sin_x f′(x)＝axln_a f′(x)＝ex 1 f′(x)＝ xln a 1 f′(x)＝ x
3．导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′＝f′(x)± g′(x)； (2)[f(x)· g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； f′xgx－fxg′x fx (3) ′＝ (g(x)≠0)． gx [gx]2
Δx 0
f′(x0)＝ lim →
fx0＋Δx－fx0 Δy ＝ lim . Δx Δx→0 Δx
(2)导数的几何意义： 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位 移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)． (3)函数 f(x)的导函数： 称函数 f′(x)＝ lim →
Δx 0
fx＋Δx－fx 为 f(x)的导函数． Δx
[探究] 1.f′(x)与 f′(x0)有何区别与联系？ 提示：f′(x)是一个函数，f′(x0)是常数，f′(x0)是函数 f′(x)在 x0 处的函数值． 2．曲线 y＝f(x)在点 P0(x0，y0)处的切线与过点P0x0，y0)的切线，两种说法有区别吗？ 提示：(1)曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P 为切点，斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． 专注孩子的未来
解析：由题意知 f′(5)＝－1， 专注孩子的未来
5
拓扑教育
f(5)＝－5＋8＝3， ∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2. 答案：2
纳百川，容学问，立德行，善人品
7．(2012· 广东高考)曲线 y＝x3－x＋3 在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y′＝3x2－1，∴y′
|x
1 1．(教材习题改编)f′(x)是函数 f(x)＝ x3＋2x＋1 的导函数，则 f′(－1)的值为( 3 专注孩子的未来
4
)
拓扑教育
A．0 C．4 B．3 7 D．－ 3 ∴f′(－1)＝3.
纳百川，容学问，立德行，善人品
1 解析：选 B ∵f(x)＝ x3＋2x＋1，∴f′(x)＝x2＋2. 3 2．曲线 y＝2x－x3 在 x＝－1 处的切线方程为( A．x＋y＋2＝0 C．x－y＋2＝0
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纳百川，容学问，立德行，善人品
拓 扑 教 育 学 科 教 师 讲 义
副校长/组长签字： 签字日期：
年 级 ：高二 课 题
课 时 数 ：2
姓 名 ：李尚真
科目 ：数学
教师 ： 崔丹丹
导数及其应用 2015 年 月 日 ：00 — ：00 a.m
授课日期及时段
1..理解导数的几何意义．
教 学 目 的
导数的几何意义
1．求曲线切线方程的步骤 (1)求出函数 y＝f(x)在点 x＝x0 处的导数，即曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处切线的斜率； (2)由点斜式方程求得切线方程为 y－y0＝f′(x0)· (x－x0)． 2．求曲线的切线方程需注意两点 (1)当曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数不存在)时，切线方程为 x＝x0； (2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．
—————
—————————————— 导数几何意义应用的三个方面
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点 A(x0，f(x0))求斜率 k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)； (2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1))，即解方程 f′(x1)＝k； 专注孩子的未来
x· cos x－sin x sin x 解析：∵f(x)＝ ，∴f′(x)＝ ， x x2 1 ∴切线方程为 y＝－ (x－π)，即 x＋πy－π＝0. π 答案：x＋πy－π＝0
6．(教材习题改编)如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)＝________.
1 · x－ln x x ln x ln x ′ x － x ′ ln x 1－ln x (8)y′＝ x ′＝ ＝ ＝ . x2 x2 x2 sin x sin x′cos x－sin xcos x′ cos xcos x－sin x－sin x 1 (9)y′＝ ＝ ＝ 2 . cos x′＝ cos2x cos2x cos x (10)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln 3)· ex＋3xex－2xln 2＝(ln 3＋1)· (3e)x－2xln 2.
7 y
x2 ； sin x
ln x (8)y＝ ； x
(9)y＝tan x；
(10)y＝3xex－2x＋e.
专注孩子的未来
2
拓Байду номын сангаас教育
纳百川，容学问，立德行，善人品
[自主解答] (5) y ' 18x 2 8x 9 (6) y 3 x
' 2
2 x3
(7)
x2 sin x x cos x sin 2 x
2 (2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x0 ＋1， 2 ∴直线 l 的方程为 y＝(3x0 ＋1)(x－x0)＋x3 0＋x0－16，又∵直线 l 过点(0,0)， 2 ∴0＝(3x0 ＋1)(－x0)＋x3 0＋x0－16，
整理得，x3 0＝－8，∴x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． 法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)， y0－0 x3 0＋x0－16 则 k＝ ＝ ， x0 x0－0 x3 0＋x0－16 又∵k＝f′(x0)＝3x2 ＝3x2 0＋1，∴ 0＋1， x0 解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)． x (3)∵切线与直线 y＝－ ＋3 垂直，∴切线的斜率 k＝4. 4
1 2. 能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 的导数．
x
3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、三角函数等，主要考查对基
重 难 点
本初等函数的导数及求导法则的正确利用.
教
学
内
容
＝1
＝3×12－1＝2.
∴该切线方程为 y－3＝2(x－1)，即 2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 8．函数 y＝xcos x－sin x 的导数为________． 解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′ ＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案：－xsin x 9．求下列函数的导数． (1)y＝ex· ln x； 解：(1)y′＝(ex· ln x)′ 1 1 ＝exln x＋ex·＝ex ln x＋x. x 1 2 (2)∵y＝x3＋1＋ 2，∴y′＝3x2－ 3. x x 1 1 x2＋ ＋ 3； (2)y＝x x x
3
拓扑教育
纳百川，容学问，立德行，善人品
fx1－fx0 (3)已知过某点 M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时，常需设出切点 A(x0，f(x0))，利用 k＝ 求 x1－x0 解． 例 3．已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标； 1 (3)如果曲线 y＝f(x)的某一切线与直线 y＝－ x＋3 垂直，求切点坐标与切线的方程． 4 解：(1)可判定点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝13. ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)，即 y＝13x－32.