应向对岸划行,航向角 θ=90°.
v水 2
②要使航线最短，那么应向何方划船？渡河
时间是多少秒？
cosθ v水 v1 1 v划 v2 2 v2
v
d
60
t
d

d
θ(
56.7s
v1
v划 sinθ v2 sin
注意：V1=V水对地=V水
V2=V船对水=V划=V船
θ ：航向角（划行速度与河岸的夹角）
则渡河航线最短，并且
S min v水 d ； cosθ v划
v划
v水
5
【例2】有人驾船从河岸A处出发，如果使船头 垂直河岸航行，经10min到达正对岸下游120m 的C处；若使船头指向与上游河岸成α角的方向 航行，经12.5min到达正对岸的B点，求水速u， 航向α ，船速v，河宽d ．
水速u= 12m/min ，
不计一切摩擦.当杆滑到如图位置时，B球水 平速度为vB，加速度为aB，杆与竖直夹角为 α，求此时A球速度和加速度大小
15
• 分别对小球A和B的速度进行分解，设杆上 的速度为v
• 则对A球速度分解，分解为沿着杆方向和垂 直于杆方向的两个速度。
• v=vAcosα • 对B球进行速度分解，得到v=vBsinα • 联立得到vA=vBtanα
t甲 t乙

v乙2 v甲2
21
【例5】某人乘船横渡一条河，船在静水中的 速度及水速一定，此人过河最短时间T1，若 此船用最短的位移过河，所需时间T2，若船 速大于水速，则船速与水速之比为？
v船
T2
v水
T22 T12
22
［例2］一根长为L的杆OA，O端用铰链固定，另 一端固定着一个小球A，靠在一个质量为M，高 为h的物块上，如图4-7所示，若物块与地面摩 擦不计，试求当物块以速度v向右运动时，小球 A的线速度vA（此时杆与水平方向夹角为θ）.
专题：小船过河问题分析
1
【例1】小船在d=200m宽的河水中行驶，船在
静水中v划=4m/s，水流速度v水=2m/s。求：
①要使船能在最短时间内渡河，则最短时间是 多少秒？应向何方划船？ ②要使航线最短，那么应向何方划船？渡河
时间是多少秒？
解： ①
t d 200 50秒 v划 4
V划 v实 d
• 所以v物= v
c os
图4-6
11
练习1
如图所示，A、B两车通过细绳跨接在定
滑轮两侧，并分别置于光滑水平面上，若
A车以速度v0向右匀速运动，当绳与水平 面的夹角分别为α和β时，B车的速度是多 少？
1.vB=
vB=
cos cos
v0
图4-1
12
作业： 作业手册
13
【例2】小船在d=200m宽的河水中行驶，船在
静水中v2=2m/s，水流速度v1=4m/s。求：要使 船的航线最短，应向何方划船？位移的最小值
如何？
解：cosθ v2 1
S
v1 2
60
又 v2 d
v2 v
θ ( ）α θ (
d
∴
v1
S min
S
v1
d

400 m
v1
方向 30
v2
14
练习2
• 如图所示，均匀直杆上连着两个小球A、B，
由①②③解之：v物=
c os
②
18
解法二:应用合运动与分运动的关系
• 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个
运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v物是合 速度，将v物按如图4-6所示进行分解.其中:v=v物cosθ，使 绳子收缩.v⊥=v物sinθ,使绳子绕定滑轮上的A点转动.
航向α= 53° ，
船速v= 20m/min ，
河宽d =200m 。
6
【例3】汽船顺流从甲地到乙地，历时3h， 返回时需6h，如汽船关闭发动机顺流从甲 地漂到乙地，则所需时间为( D )
A．3h B．6h C．9h D．12h
7
【例4】游泳运动员以恒定的速率垂直河岸 横渡．当水速突然增大时，对运动员横渡经 历的路程、时间发生的影响是( C) A．路程增长、时间增长 B．路程增长、时间缩短 C．路程增长、时间不变 D．路程与时间均与水速无关
点作CD⊥AB，当Δt→0时，∠BAC极小，在△ACD中，可
以认为AC=AD，在Δt时间内，人拉绳子的长度为Δs2=BD，
即为在Δt时间内绳子收缩的长度.图4-5
由图可知：BC= BD
c os
①
由速度的定义：物体移动的速度为v物=
人拉绳子的速度v= s2 BD
s1 BC t t
③
t t v
16
［例1］如图4-3所示，在一光滑水平面上放 一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮 拉物体，使物体在水平面上运动，人以大 小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ 角时，物体前进的瞬时速度是多大？
图4-3
17
解法一:应用微 元法
图4-5
设经过时间Δt，物体前进的位移Δs1=BC，如图4-5所示.过C
• 所以v物=
v
c os
图4-6
19
Hale Waihona Puke 【例3】一只船从河岸A处渡河 ，河宽d=30m， v水=10m/s，距A 40m的下游有瀑布，为使小船 靠岸时，不至被冲进瀑布中，船的划行的最小 速度为多少？船的实际速度是多大？
S
V划 v实
θ(
A
v水 x
瀑 d布
20
【例4】有一艘船以v甲的船速用最短的时间 横渡过河，另一艘船以v乙的船速从同一地点 以最短的距离过河，两船的轨迹恰好重合 （设河水速度保持不变），求两船过河所用 时间之比。
d: 河的宽度
V=V船对地=V实
3
重要结论---小船的两种过河方式
1.最短时间过河
V划
v实
d
v水
2.最短位移过河
V划 v实 d
v水
过河时间最短； t = d / v划
过河路径最短； s = d (v划>v水)
4
点评：当v2<v1(v划<v水）时，合速v不 可能垂直河岸。此时，以v1矢量的终 点为圆心，v2的大小为半径画圆，当 v与圆相切时，α角最大，θ角最小，
8
速度关联类问题求解·速度的 合成与分解
图4-12
9
［例5］如图4-3所示，在一光滑水平面上放 一个物体，人通过细绳跨过高处的定滑轮 拉物体，使物体在水平面上运动，人以大 小不变的速度v运动.当绳子与水平方向成θ 角时，物体前进的瞬时速度是多大？
图4-3
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• 绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运 动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上 运动的速度v物是合速度，将v物按如图4-6所示进 行分解.其中:v=v物cosθ，使绳子收缩.v⊥=v物sinθ, 使绳子绕定滑轮上的A点转动.