a0 0, a1 0, a2 0, a3 0
解题过程：
（2）列劳斯表
例5：已知系统特征方程
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解题过程：
（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均 并且没有缺项，所以满足必要条件
解题过程：
（2）列劳斯表
例6：已知系统特征方程
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
2、稳定性是控制系统的一种固有特性，只取
3、系统稳定性是指自由响应（零输入响应）
为零时的稳定性。
的稳定性，即讨论系统输入为零，初始偏差
第3节 线性定常系统的稳定性
系统用微分方程描述，如何确定系统是否
线性定常系统稳定的充分必要条件
设n 阶线性定常系统的微分方程为
对上式作拉氏变换，得
当 R(s)=0 ，得到在初始状态影响下系统的时
U i (s) U C (s) I (s) R U C (0) 1 U C (s) I (s) sC s
解题步骤： （3）合并得到输出的拉普拉斯变换为
U i (s) RCU C (0) U C (s) 1 RCs 1 RCs
（4）对系统进行拉普拉斯反变换，
1
U i (s) 1 RCU C (0) U C (t ) L [ ] L [ ] 1 RCs 1 RCs t 1 U i ( s ) L [ ] U C (0)e RC 动 1 RCs 稳态响应
31、知技并重，德行为先。 32、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 33、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤 34、你若要喜爱你自己的价值，你就得给世界创造价值。 —— 歌德 35、社会犹如一条船，每个人都要有掌舵的准备。 —— 易卜生 36、人生不是一种享乐，而是一桩十分沉重的工作。 —— 列夫· 托尔斯泰 37、生活只有在平淡无味的人看来才是空虚而平淡无味的。 —— 车尔尼雪夫斯基 38、先相信你自己，然后别人才会相信你。 —— 屠格涅夫 39、谁给我一滴水，我便回报他整个大海。 —— 华 梅 40、对人不尊敬，首先就是对自己的不尊敬。 —— 惠特曼 41、一个人的真正伟大之处就在于他能够认识到自己的渺小。 —— 保 罗 42、自我控制是最强者的本能。 —— 萧伯纳 43、勿以恶小而为之，勿以善小而不为。惟贤惟德，能服于人。 —— 刘备 44、要使别人喜欢你，首先你得改变对人的态度，把精神放得轻松一点，表情自然，笑容可掬，这样别人就会对你产生喜爱的感觉了。 —— 卡耐基 45、有谦和、愉快、诚恳的态度，而同时又加上忍耐精神的人，是非常幸运的。 —— 塞涅卡 46、人的一生可能燃烧也可能腐朽，我不能腐朽，我愿意燃烧起来！ —— 奥斯特洛夫斯基 47、我们应该注意自己不用语言去伤害别的同志，但是，当别人用语言来伤害自己的时候，也应该受得起。 —— 刘少奇 48、人生犹如一本书，愚蠢者草草翻过，聪明人细细阅读。为何如此. 因为他们只能读它一次。 —— 保 罗 49、无论你怎样地表示愤怒，都不要做出任何无法挽回的事来。 —— 培 根 50、人生就象弈棋，一步失误， 全盘皆输，这是令人悲哀之事；而且人生还不如弈棋，不可能再来一局，也不能悔棋。 —— 弗洛伊德 51、在你发怒的时候，要紧闭你的嘴，免得增加你的怒气。 —— 苏格拉底 52、 路是脚踏出来的，历史是人写出来的。人的每一步行动都在书写自己的历史。 —— 吉鸿昌 53、 最本质的人生价值就是人的独立性。 —— 布迪曼 54、 谁若想在困厄时得到援助，就应在平日待人以宽。 —— 萨迪 55、 人世间没有比互相竭尽全心、互相尽力照料更加快乐的了。 —— 西塞罗 56、 不良的习惯会随时阻碍你走向成名、获利和享乐的路上去。 —— 莎士比亚 57、 容易发怒，是品格上最为显著的弱点。 —— 但 丁 58、 对一个尚未成熟的少年来讲，坏的伙伴比好的老师起的作用要大得多。 —— 伊 索 59、 决定一个人的一生，以及整个命运的，只是一瞬之间。 —— 歌德 60、 生气的时候，开口前先数到十，如果非常愤怒，先数到一百。 —— 杰弗逊
动态性能 指标
最大超调量 Mp：阶跃响应 大家好，我叫最大超调 与稳态值的差与稳态值 名叫Mp，直播号：
Mp c(t p ) c() c ( )

动态性能 指标
大家好，我叫调整时 间。我的英文名叫ts， 请看：
动态性能 指标
大家好，我叫振荡次 数。我的英文名叫N， 请看：
第3节 线性定常系统的稳定性
素，然后继续进行计算，完成劳斯表。例
其劳斯表如左
因为劳斯表第一列
的符号改变了两次
以系统不稳定，且
个正实部的特征根。

第二种情况，先用全零行的上一行元素构成
辅助方程，再将上述辅助方程对 s 求导，用求导 方程系数代替全零行的元素，继续完成劳斯表.
它的次数总是偶数，它表示特征根中出现关于原
称的的根的数目（这些根或为共轭虚根；或为符
j
S平面
0
例2 一个系统的闭环传递函数为： C ( s) ( s 6)( s 16) ( s) R( s ) ( s 8)( s 9)( s 4 j 5)( s 4 j
试说明系统的稳定性。
解：系统的特征方程为 ： ( s 8)( s 9)( s 4 j 5)( s 4 j 5) 0 对应的四个特征根分别 为： s1 8, s2 9, s3, 4 4 j 5
第2节 控制系统时域系统的性能指标
（1）R=1KΩ，C=1uF, Uc(0)=1V （2）R=10KΩ，C=1uF, Uc(0)=2V
怎么评价系统性能？
稳态性能指标
采用稳态误差ess来衡量，其 值之差。即
t
趋于无穷时，系统输出响应
ess lim[r (t )
稳态性能 指标
大家好，我叫稳态误差 我的英文名叫ess，私聊 请拨：
，采用动态性能指标(瞬态响应指标)，如快速性、平
例1： 如图是一个由电阻与电容构成的RC低通滤波电 其中Ui为输入电压，UC为输出电压，求出该低通滤波电 路的时域响应。
解题步骤：
（1）根据电路理论，列出系统的微分方程
（2）两边取拉普拉斯变换，得到因果关系式
U i (t ) U C (t ) i (t ) R 1 U C (t ) i (t ) dt C
第3章 控制系统的时域
第1节 线性定常系统的时域响应
对
对输出c(t)随时间变化的规律进行分析
第1节 线性定常系统的时域响应
系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变化 即微分方程的解，就是系统的时域响应。
第1节 线性定常系统的时域响应
系统在输入信号r(t)作用下，输出c(t)随时间变 概括为，
响应(即零输入响应)为
若pi为系统特征方程 D(s)=0 的根且当 pi 不相同时，有
若系统所有特征根 pi的实部均为负值， Re ［ pi ］ <0 则零输入响应 ( 暂态响应 ) 终将衰减到零，
这样的系统就是稳定的。
反之，若特征根中有一个或多个根具有正实 时，则暂态响应将随时间的推移而发散，即
可见，其实部全部为负 数，该系统是稳
思考： 如图是一个由电阻与电容构成的RC低通滤波电路， 其中Ui为输入电压，UC为输出电压，试问该低通滤波电 路系统稳定吗？
当输入电压Ui（s）=0时，有
U C (t ) U C (0)e , T RC
t T
U C ( )
第3节 线性定常系统的稳定性
例8：已知系统特征方程
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解题过程：
（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均 并且没有缺项，所以满足必要条件
解题过程：
（2）列劳斯表
劳斯表中第一列元素符号没有改变，系统 没有右半平面的根，但由P(s)=0求得
例9：已知系统特征方程
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解题过程：
ess lim[r (t ) c(t
t
动态性能 指标
上升时间：从零时刻首次 大家好，我叫上升时 间 ,即阶跃响应曲线从t= 间。我的英文名叫tr， 到稳态值所需要的时间。 请看：
动态性能 指标
峰值时间 tp：从零时刻到 大家好，我叫峰值时 即阶跃响应曲线从 t=0 开 间。我的英文名叫 t p， 峰值所需要的时间 . 请看：
一个问题
特征方程的根无法直接求出，那怎么判断稳定
3.1小节. 劳斯判据
(1) 线性定常系统的劳斯判据
设控制系统的特征方程式为

首先，劳斯稳定判据给出控制系统稳定的
件是：控制系统特征方程式的所有系数 ai (i 0 均为正值，且特征方程式不缺项。

其次，劳斯稳定判据给出控制系统稳定的
件是：劳斯表中第一列所有项均为正号。
这样的系统就是不稳定的。 综上所述，系统稳定的充分必要条件是系 特征根的实部均小于零，或系统的特征根均 根平面的左半平面。
结
综上所述，系统稳定的充分必要条件为：
论
系统所有特征根（即传递函数极点）均为负实
或具有负的实部，即：
Re( si ) 0 i 1, n, si为特征根 或者称所有特征根位于S平面的开左半部分。
解题过程：
（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均 并且没有缺项，所以满足必要条件
解题过程：
（2）列劳斯表
例7：已知系统特征方程
试用劳斯判据判别系统的稳定性。
解题过程：
（1）系统稳定的必要条件是特征方程式的系数均 并且没有缺项，所以不满足必要条件，系统不
解题过程：
（2）列劳斯表
有两种特殊情况需要说明： ＊1.劳斯表中某一行的第一个元素为零，而该 其它元素并不为零，则在计算下一行第一 元素时，该元素必将趋于无穷大，以至劳 表的计算无法进行。
s s s s