uuur uuur uuur AC AB AO
uuur uuur AD AO
uuur uuur=auu+r b，由三角形法则，得 BC AO=bF+E a+b=a+2b.
uuur uuur uur AE AF FE
类型二 向量加法运算律的应用
【典例】化简：(1)
(2)
uuuur
(1)a+0=a. ( )
uuur uuur uuur
(2) AB BA＝2AB.
()
uuur uuur uuur uuur
(3) AB BD DC AC. (
)
(4)a+(b+c)=c+(a+b). ( )
提示：(1)×.两个向量的和仍然是一个向量，所以 a+0=a.
uuur uuur
(2)×.由向量加法的三角形法则知， AB =B0A.
uuur OA
uuur
uuur
OB
OC
uuur uuur OA OB
uuur=a+b，再以 uuur、 u为uur 邻边作▱ODEC，则 OD =a+b+c. OD OC
uuur OC
uuur uuur OE＝OD
【内化·悟】 用三角形法则与平行四边形法则作三个或以上向量的和 的方法是怎样的？ 提示：用分步作图的方法，即先作出其中两个向量的和 ，再作所得和向量与第三个向量的和，直至完成作图.
=0.
求证：
uur uuur BP CQ
uuur uuur uuur uuur AP AQ＝AB AC.
【证明】因为 uuur uuur uur uuur uuur uuur
2 DB CD BC＝BC CD DB＝ BC CD DB＝BD DB＝0.
【加练·固】
在平行四边形ABCD中(如图)，对角线AC，BD交于点O，
则
①
=________.
②
=________.
uuur uuur AD AB
uuur uuur uuur CD AC DO
③ uuur uuur uuur =________. ④ AB AD CD =________.
① uuur uuur =________；② uuur uur =________.
AB DF
AD FC
2.下列说法正确的是________.(填序号) ①若|a|=3，|b|=2，则|a+b|≥1； ②若向量a，b共线，则|a+b|=|a|+|b|； ③若|a+b|=|a|+|b|，则向量a，b共线.
uuur uuur uuur AC BA DA
【解析】① uuur uuur uuur
②
AD AB AC.
③
uuur uuur uuur uuur uuur uuur CD AC DO CO AC AO.
④ uuur uuur uuur uuur uuur uuur
=0.
答案A：B ①AD CD② AC CD③ AD. ④0
(2)首尾顺次相接的若干向量求和，若构成一个封闭图 形，则它们的和为0.
【延伸·练】化简 uuur uuur uur uuur 的结果等于
OP＋PQ＋QS SO
()
A.0
B.
C.
D.
uuur
uur
uuur
OQ
SP
SQ
【解析】选A.
uuur uuur uur uuur OP＋PQ＋QS SO
所以 uuur ，uuur即平行四边形对角线相等， 故四边|B形D |A|BACCD| 为矩形.
【类题·通】 利用向量解决几何问题的方法 用向量法证明几何问题的关键是把几何中的线段转化 为向量，通过向量的运算得到结论，然后把向量问题 还原为几何问题.
【习练·破】
如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且
【发散·拓】 向量求和的多边形法则 (1)已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起 点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和，这
uuuuur uuuuur uuuuur
称u为uuu向uuu量uur求u和uuu的uuu多r 边uuu形uur法则.即 A0A1 A1A2 A2A3
An－2An－1 An－1An A0An .
2.这种解题操作的理论依据是什么？ 提示：向量加法的交换律与结合律.
【类题·通】 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的 依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际 上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向
量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进 行. (2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律， 使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整 向量相加的顺序.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(3)√. AB BD DC＝AD DC＝AC. (4)√.由向量加法的交换律、结合律知，a+(b+c)= (a+b)+c=c+(a+b).
2.如图，在☉O中，向量
uuur uuur uuur OB，OC，AO
是
()Βιβλιοθήκη A.有相同起点的向量 C.模相等的向量
【思维·引】将互相平分利用向量表示，以此为条件 推证使四边形为平行四边形的向量等式成立.
【解析】如图，设四边形ABCD的对角线AC，BD相交于
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
点O，AB AO OB, DC ADCO与 BOCD.互相平分，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
(2)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余 ，去掉可以吗？ 提示：不能，因为如果两个向量共线，就无法以它们 为邻边作出平行四边形，也不会产生和向量.
(3)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起 点有什么特点？和向量是怎样产生的？ 提示：求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以 求和的两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量.
uuur uuur BC AB ,
【证明】因为四边形ABCD中，uuur uuur， 所以四边形ABCD为平行四边形AB，如DC图. 所以
uuur uuur uuur
因为 BC BA BD，
uuur uuur uuur uuur uuur BC AB AB BC AC,
uuur uuur uuur uuur BC BA BC AB ,
uuur uuur
uuur
AO OC,OB DO因, A此B D∥C, 且| A|=B CD
AB
uuur
| DC|，即四边形ABCD是平行四边形.
【素养·探】 在用向量加法证明几何问题时，经常利用核心素养中的 逻辑推理，通过对条件与结论的分析，确定论证思路及 方法予以证明.
若将本例改为：四边形ABCD中， uuur uuur uuur uuur 求证四边形ABCD为矩形AB. DC,且 BC BA
=0.
【习练·破】
如图，在正六边形ABCDEF中，点O为中心， =a，
=b，求
uuur
uuur
AB
AF
uuur uuur uuur AC, AD, AE.
【解析】由向量的平行四边形法则，得 =a+b.
在Auu平Our 行Auu四Bur 边Auu形uFr ABCO中， =a+a+b=2a+b.
而 =2 =2a+2b，且
答案uuu：r ①uuur uuur u②uur uuur
①AB DF＝AB BC＝AC. uuur uur uuur uuur uuur
②AD FC＝AD DB＝AB.
uuur
uuur
AC
AB
2.①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为1； ②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确，反之正 确，即③正确. 答案：①③
则a+b= + = .OA
AB
所以|a+OubuA|ur=|
AuuBur|=
uuur OB
=8 (km)，
因为∠AOB=45u°u，ur
所以a+b的方向OB是东北8方2 向82 . 2
答案：8 km 东北方向
2
类型一 向量的加法法则 【典例】1.(2019·济宁高一检测)如图，在△ABC中， D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点， DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个 向量)：
B.共线向量 D.相等的向量
【解析】选C.由题干图可知 uuur uuur uuur 是模相等的向 量，其模均等于圆的半径，故O选B，OC.C，AO
3.若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”， 则|a+b|=________，a+b的方向是________.
【解析】如图所示，作 uuur =a，uuur =b，
【习练·破】 化简：
uuur uuur uuur uuur uuur
1 BC AB.2DB CD BC.
【解析】 uuur uuur uuur uuur uuur 1 BC AB＝AB BC＝AC.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
MA
世Buu纪Nur 金 榜AuuCu导r 学CuuBur号.
uuur uuur uuur uuur
AB BD CA DC.
【思维·引】利用向量加法的交换律使求和的各向量 首尾相接，然后再利用加法法则求和.
【解析】 uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur