二项分布？还是超几何分布二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 1 袋中有 8 个白球、 2 个黑球，从中随机地连续抽取 3 次，每次取 1 个球．求：（ 1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（ 2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．解：（ 1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1， 2， 3．又由于每次取到黑球的概率均为1， 3 次取球可以看成 3 次独立重复试验，则1，．550312∴ P(X 0) C301464 ；P(X 1)C311448 ；551255512521P(X 3) C33130P(X 2) C321412 ；4 1 ．5512555125因此， X 的分布列为X0123P6448121 125125125125（2）不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为0， 1，2，且有：P(Y 0)C20C837；P(Y1)C21C827；P(Y2)C22C81 1 ．C10315C10315C10315因此， Y 的分布列为Y012771P151515例 2 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490,495] ， (495,500] ，,, ，(510,515] ，由此得到样本的频率分布直方图，如图4（ 1）根据频率分布直方图，求重量超过505 克的产品数量 ,（ 2）在上述抽取的40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量超过505 克的产品数量，求Y 的分布列；（ 3）从该流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品的重量超过505克的概率。

17.解 : (1)重量超过 505克的产品数量是 :40 (0.055+0.01 5)=40 0.3=12.(2)Y 的分布列为 :Y 0 1 2PC 282 C 281 C 121C 122C 402C 402C 402(3)设所取的 5件产品中 , 重量超过 505克的产品件数为随机变量 Y, 则Y B(5, 3),102 3 2 7 33087 从而 P(Y=2)=C 5( 10 )( 10 ) =10000 .即恰有 2件产品的重量超过 505克的概率为3087.10000超几何分布与二项分布特点(A) 判断一个随机变量是否服从超几何分布 , 关键是要看随机变量是否满足超几何分布的特征 :一个总体 ( 共有 N 个) 内含有两种不同的事物 A(M 个) 、 B(N M 个) , 任取 n 个 , 其中恰有 X 个A . 符合该条件的即可断定是超几何分布C M k C N nk M, 按照超几何分布的分布列 P( X k)C N n（ k 0,1,2, , m ）进行处理就可以了 . (B) 二项分布必须同时满足以下两个条件: ①在一次试验中试验结果只有A 与 A 这两个 , 且事件 A 发生的概率为 p , 事件 A 发生的概率为 1 p ；②试验可以独立重复地进行 , 即每次重复做一次试验 , 事件 A 发生的概率都是同一常数 p , 事件 A 发生的概率为 1 p .辨析：通过 2 个例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例 1 与例 2 中的 EX=EY=0.6 注意▲ 超几何分布和二项分布都是离散型分布超几何分布和二项分布的判断方法（ 1）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要； （ 2）超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复）（ 3）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布。

二项分布、超几何分布、正态分布练习题一、选择题1．设随机变量 ξ～ B 6，1，则 P(ξ＝ 3)的值为 ()25 B.3C.5D.7A. 16168162．设随机变量 ξ～ B(2， p)，随机变量 η ～ B(3， p)，若 P(ξ≥ 1) 5，则 P(η≥ 1) ＝ ()＝91 5 819 A. 3B.9C.27D. 273．一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了ξ次球，则 P(ξ＝ 12)＝ ()103105 2 93 9 5 2 3 95 9 3 29 3 952A ． C 128·B ．C 1188·C ． C 118·D ．C 118·88884．在 4 次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在一次试验中发生的概率 p 的取值范围是 ()A ． [0.4,1)B ． (0,0.6]C ． (0,0.4]D ． [0.6,1)5．已知随机变量2)ξ服从正态分布 N(2， σ)， P(ξ≤ 4)＝ 0.84，则 P(ξ＜ 0)＝ (A ． 0.16B ． 0.32C ．0.68D ．0.84二、填空题6．某篮运动员在三分线投球的命中率是1，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率 ________．27．从装有 3 个红球， 2 个白球的袋中随机取出两个球，设其中有 X 个红球，则 X 的分布列为 ______．8.某厂生产的圆柱形零件的外径ε～ N(4,0.25) ．质检人员从该厂生产的1000 件零件中随机抽查一件，测得它的外径为 5.7 cm. 则该厂生产的这批零件是否合格 ________．三、解答题9、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售 . 已知某产品第一轮检测不合格的概率为 1 ，第二轮检测不合格的概率为1，两轮检测是否合格相互没有影响 .6 10（Ⅰ）求该产品不能销售的概率；（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40 元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80 元（即获利 - 80 元） . 已知一箱中有产品 4 件，记一箱产品获利 X 元，求 X 的分布列，并求出均值 E(X).10、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽样 100 名志愿者的年龄情况如下表所示．（Ⅰ）频率分布表中的① 、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500 名志愿者中年龄在[30，35）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100 名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20 人中选取 2 名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30 岁”的人数为X ，求 X 的分布列及数学期望．分组频数频率频率（单位：岁）组距20,2550.05025,30①0.20030,3535②35,40300.30040,45100.100202530354045年龄合计100 1.0011、 2015 年南京青奥组委会在某学院招募了12 名男志愿者和 18 名女志愿者。

将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位 :cm）：若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”.（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取 5 人 ,再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（Ⅱ）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.二项分布、超几何分布、正态分布参考答案31 3 1 3 51、解析： P ( ξ ＝ 3) ＝ C 6 21－ 2 ＝16.答案： A2、解析：∵ ( ξ ≥1) ＝2 (1－ )＋ 2＝5 ， ∴ p ＝ 1 ，Pppp9 3∴ P ( η ≥1)1 12 2 21 2 2 31 319＝ C33＋C33＋ C33333、解析： P ( ξ ＝ 12) 表示第 12 次为红球，前 11 次中有 9 次为红球，从而9 · 3 9 5 2 3P( ξ ＝ 12) ＝ C811答案： B4、解析： C14p (1 － p ) 3≤C24p 2(1 － p ) 2，即 2(1 － p ) ≤3p ，∴ p ≥0.4. 又∵ p <1，∴ 0.4 ≤ p <15、解析：∵ P ( ξ ≤4) ＝ 0.84 ， μ ＝ 2，∴ P ( ξ ＜0) ＝ P ( ξ＞ 4) ＝ 1－ 0.84 ＝ 0.16. 故选 A.6、解析：由题意知所求概率31 3 1 7 15P ＝ C 1022＝.1287、解析：这是超几何分布，C 30C 22C 31C 21 P ( X ＝2)＝C 32C 20，P ( X ＝0) ＝ 2 ＝ 0.1 ；P ( X ＝ 1) ＝ 2 ＝ 0.6;2＝0.3CCC5 55分布列如下表：X 0 1 2P0.10.60.38、解析：根据 3σ 原则，在 4－ 3×0.5＝2.5~4＋ 3×0.5＝ 5.5 之外为异常，所以这批零件不合格．9、（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则 P( A) 1 (1 1) (11 ) 1 .610 4所以，该产品不能销售的概率为1.4（Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320, 200, 80,40,160 .P( X320) (1)41，P( X200) C 41 ( 1)3 3 3 ，42564 4 64 P( X80)C 42(1)2 (3)227 ， P(X 40) C 431( 3)327 ，4 41284464P( X160)( 3)481 .4256所以 X 的分布列为X - 320 - 200 - 80 40 160P1327 27 812566412864256,,,,,,,,,,,,,,11 分E(X)3201 2001 80 27 40 27 160 81 40 ，25664 12864 256故均值 E(X) = 40. ,,12 分10、（Ⅰ）①处填 20 ，②处填 0.35 ；补全频率分布直方图如图所示 . 500 名志愿者中年龄在 30,35频率 组距的人数为 0.35 500 175 人．（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取20 人, 则其中“年龄低于 30 岁”的有 5人，“年龄不低于 30 岁”的有 15 人．故 X 的可能取值为 0 ， 1 ， 2 ；C221P( X0)15，C 2023820 25 30354045年C 1 C 1 15C 22P( X1)155， P(X2) 5， ,,11 分C 202 38 C 202 38所以 X 的分布列为：X0 1 2P2115 2383838∴ EX 021 115 2 2 1 ．383838 211、（Ⅰ）根据茎叶图，有“高个子” 12 人，“非高个子” 18 人,,1 分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是5 12 分30,,,6所以选中的“高个子”有12 12 人，“非高个子”有 181 3人． ,, 3 分66用事件 A 表示“至少有一名 “高个子” 被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名 “高个子” 被选中”，则 P(A)1C 32 137． ,, 5 分C 52 10 10因此，至少有一人是“高个子”的概率是7．,6分的取值为 0,1, 2, 3 ．,,,,,,10（Ⅱ）依题意， 7 分P(0) C 8314P(1) C 14 C 8228C 123，C 123，5555P(2) C 42C 1812P(3) C 43 19 分C 123，C 123,,5555因此，的分布列如下：0 1 2 3 p142812 155555555,, 10分E0 14 1 282 123 1 1 ． ,,,,12 分55 555555。