xi
19
25
30
38
yi
19.0
32.3
49.0
73.3
2、（15 分）用 n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算
1
0 edxx 时，
(1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用n 8 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积
分的近似值。
四、1、（15 分）方程x3 x 1 0 在 x 1.5 附近有根，把方程写成三种
。
(x)
[0,1]
(x) x
7、 k k0 是区间 上权函数
的最高项系数为 1 的正交多
1
项式族，其中 0 (x) 1，则 0 x 4 (x)dx
。
x1
ax2 b1 ax x b
8、给定方程组
1
2
2 ， a 为实数，当 a 满足
，
且0 2 时，SOR 迭代法收敛。
y f (x, y) y(x ) y
dy y 1 dx
五、1、（15 分）取步长h 0.1，求解初值问题
y(0) 1 用改进的欧
拉法求 y(0.1) 的值；用经典的四阶龙格—库塔法求 y(0.1) 的值。
2、（8 分）求一次数不高于 4 次的多项式 p(x) 使它满足
p(x0 ) f (x0 ) , p(x1 ) f (x1 ) , p(x0 ) f (x0 ) , p(x1 ) f (x1 ) , p(x2 ) f (x2 ) 六、（下列 2 题任选一题，4 分） 1、 1、 数值积分公式形如
数值计算方法试题一
一、 填空题（每空 1 分，共 17 分）
1、如果用二分法求方程x3 x 4 0 在区间[1,2]内的根精确到三位小
数，需对分（
）次。
2、迭代格式
x
k
1
x
k
(x 2 2)
k
局部收敛的充分条件是 取值在（
）。
x3
0 x 1
S(x) 1 (x 1)3 a(x 1)2 b(x 1) c
）。
（1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次
4、若用二阶中点公式 yn1 yn hf (xn
h , y h f (x 2n4
n , yn)) 求解初值问题
y 2 y, y(0) 1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为
（
）。
(1) 0 h 2 , (2) 0 h 2 , (3) 0 h 2 , (4) 0 h 2 三、1、（8 分）用最小二乘法求形如 y a bx 2 的经验公式拟合以下 数据：
１、若 A 是 n n 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵
U ，使 A LU 唯一成立。 （
）
２、当n 8 时，Newton－cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。
Steffensen 迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速 效果。

2、（8 分）已知方程组 AX
f ，其中
A
4 3
34
1
f 2340
1 4 ， 24 （1）（1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形
式。
（2）（2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR 迭代法。
不同的等价形式（1） x 3 x 1 对应迭代格式xn1 3 xn 1 ；(2)
x
1 1
x
x 对应迭代格式 n1
11
xn ；（3） x x3 1对应迭代格式
x x3 1
x 1.5
n1 n 。判断迭代格式在 0 的收敛性，选一种收敛格式计算
x 1.5 附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立
yn1 0yn y1 n1 h[ f(xn , yn ) (1 )f (xn1 , yn1 )]
yy (x
f (x, )
y) y
,,
求解常微分方程的初值问题 0 0 时，如何选择参数 0 1 使
方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。
数值计算方法试题二
一、判断题：（共 16 分，每小题２分）
3、已知
2
1 x 3 是三次样条函数，
则
a =(
)，b =（
），c =（
）。
4、l0 (x), l1 (x),, ln (x) 是以整数点x0 , x1 ,, xn 为节点的 Lagrange 插值基
函数，则
n l (x)
n x l (x )
n (x 4 x2 3)l (x)
k
( )， k j k k 0
）
条件时，这种分解是唯一的。
二、 二、选择题（每题 2 分）
1、解方程组 Ax b 的简单迭代格式x(k 1) Bx(k ) g 收敛的充要条件是
（
）。
（1） (A) 1,
(2) (B) 1,
(3) (A) 1,
(4) (B) 1
2、在牛顿-柯特斯求积公式：
b f (x)dx (b a) n C (n) f (x )
9、解初值问题 0 0 的改进欧拉法
y[0] n1
y
n
hf (xn , yn )
yn1
y n
h[ 2
f
(x
,ny
) n
f
(x
, y[0] )]
是 n1 n1
阶方法。
1 0 a
A 0 1 a
10、设 a a 1 ，当 a （
）时，必有分解式 A LLT，
其中L 为下三角阵，当其对角线元素lii (i 1,2,3)满足（
a
i i0
i
中，当系数
C
(n) i
是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（
）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
（1）n 8 ， （2） n 7 ， （3）n 10 ， （4） n 6 ，
3、有下列数表
x
0
0.5
1
1.5
2
2.5
f(x) -2
-1.75 -1
0.25 2
4.25
所确定的插值多项式的次数是（
( )，当 n 2 时k 0 k k
k
(
)。
k 0
5、设 f (x) 6x7 2x 4 3x 2 1和节点xk k / 2, k 0,1,2,, 则
f [x0 , x1,, xn ]
和 7 f 0
。
6、5 个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为
，5 个节
点的求积公式最高代数精度为
1 xf (x)dx S (x) Af (0) Bf (1) Cf (0) Df (1) 0
（1）（1） 试确定参数 A, B,C, D 使公式代数精度尽量高；
1
（2）设 f (x) C 4[0,1] ，推导余项公式R(x) 0 xf (x)dx S(x) ，
并估计误差。
2、 2、 用二步法