a1* x 3 b1* x 2 c1* x d1
S（x）=
(0≤x≤1) (1≤x≤2) (2≤x≤3)
a 2 * x 3 b2 * x 2 c 2 * x d 2 a3 * x b3 * x c3 * x d 3
3 2
其一阶导数：
3 * a1* x 2 2 * b1* x c1 S ' ( x) =
解：比较法是将相同类型的被测量与标准量直接地进行比较，测出其大小（或是差值）的测 量方法，测量与被测量之间没有函数关系,例如用刻度尺测量长度、用安培计测量电流等。 如果对于被测量进行了多次比较测量， 则用统计分析的方法即 A 类评定计算不确定度， 可用 标准偏差除以开方后的自由度来表示；如果只测了一次，则用 B 类评定计算不确定度，可用 已知的测量器具的不确定度除以 3 （被测量服从均匀分布）作为结果。 ⑴已知比较测出了六组差值，则可用 A 类评定计算结果：
S ' ' (0) =-0.3 S ' ' (3) =3.3
matlab 源程序如下：
＝﹥ 2*b1=-0.3 ＝﹥ 18*a3+2*b3=3.3
%矩阵A依次存放系数a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3,矩阵B存放相应代数值 A=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0; 1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,8,4,2,1,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,27,9,3,1; 1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0; 0,0,0,0,8,4,2,1,-8,-4,-2,-1; 3,2,1,0,-3,-2,-1,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,12,4,1,0,-12,-4,-1,0; 3,1,0,0,-3,-1,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,3,1,0,0,-3,-1,0,0; 0,2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,18,2,0,0]; B=[0;0.5;2;1.5;0;0;0;0;0;0;-0.3;3.3]; C=inv(A)*B 得到结果：C =[0.9167，-0.1500，-0.2667，0， -3.2833,12.4500，-12.8667,4.2000， -0.1583，3.0750，-12.8667,16.7000] 即： S（x）=
中 i 0,1,2,3 并给出 f x0 0 ， f x1 0.5 ， f x2 2.0 ， f x3 1.5 ，yi f xi ， （1）当 y' 0 f ' x0 0.2 ， y' 3 f ' x3 1时，试求三次样条插值函数 S ， （2）当 y'' 0 f '' x0 0.3 ， y'' 3 f '' x3 3.3 时，求样条插值函数 S ，使
x
1.3 1.5 1.2 1.6 1.5 1.4 1 6 +199.9 mm≈201.3mm xi +x0 6 n i 1
用贝塞尔公式计算标准差：
1 6 s(xi)= ( ( xi x ) ) ≈0.15mm 6 1 i 1
s( x )=
2
则：
s(xi) 6
0.7667x 3 0.4667x 2 0.2 x 1.9 x 7.5333x 7.8x 2.6667
3 2
(0≤x≤1) (1≤x≤2) (2≤x≤3)
0.4667x 3.2333x 7.8x 8.4
3 2
⑵该问相比上问只是改变了边界条件，所以条件①②③一样，条件④变为：
构造一个逼近原时间信号 x(t)的 x*(t)，则 x*(t)的复频谱不易受频谱混叠的制约 。 二是栅栏效应问题。由于频率取样间隔过大而不能有效表达频谱特征的情况称为 栅栏效应， 频谱取样点间挡住或丢失的频率成分有可能是重要的或具有特征的成分， 使 信号处理失去意义。减小栅栏效应最直接的办法就是加大对信号的取样长度 Ts ，但是 会增加数据点数 N；一个有效的方法是用数字细分法（Chirp 法）计算频谱，可有效抑 制栅栏效应在。 ② 另一个处理过程是对信号的截取。因为往往要处理的信号会有较长的延续时间，
四、 （20 分）信号是正弦波加正态零均值白噪声，信ห้องสมุดไป่ตู้比为 10dB，信号频率
为定义在区间[0，3]上的函数，剖分的节点为 xi 0 i ，其
并使其满足 S ' x0 y' 0 , S ' xn y' n 。
其满足 S '' x0 y'' 0 , S '' xn y'' n 。 （要求给出求解过程和 Matlab 源程序）
解：⑴ 构造满足条件的三次样条差值函数 S（x） ，需要以下几个条件： ① 在每一个小区间上 Si (x)都是 x 的三次多项式，所以构造函数形式为：
④以上三条得到 10 个方程，要解 12 个未知数，还要有两个方程，利用边界条件
S ' (0) =0.2， S ' (3) =-1，得到：
c1=0.2; 27*a3+6*b3+c3=-1; 这样得到十二个方程，即可解出 ai 和 bi（i=0,1,2,3）的值。用 matlab 求解，源程 序如下： %矩阵A依次存放系数a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d3,矩阵B存放相应代数值 A=[0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0; 1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,8,4,2,1,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,27,9,3,1; 1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,0,0,0,0; 0,0,0,0,8,4,2,1,-8,-4,-2,-1; 3,2,1,0,-3,-2,-1,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,12,4,1,0,-12,-4,-1,0; 3,1,0,0,-3,-1,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,3,1,0,0,-3,-1,0,0; 0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,27,6,1,0]; B=[0;0.5;2;1.5;0;0;0;0;0;0;0.2;-1]; C=inv(A)*B 得到结果：C =[0.7667，-0.4667，0.2000，0， -1.9000，7.5333，-7.8000，2.6667， -0.4667，3.2333，-7.8000，8.4000] 即 S（x）=
0.9167x 3 0.15x 2 0.2667x 3.2833x 3 12.45x 2 12.8667x 4.2 0.1583x 3.075x 12.8667x 16.7
3 2
(0≤x≤1) (1≤x≤2) (2≤x≤3)
三、 （20 分）在对模拟信号进行数字谱分析的过程中，分别需要对信号进行
将插值点带入得到： a1+b1+c1+d1=a2+b2+c2+d2;
8*a2+4*b2+2*c2+d2=8*a3+4*b3+2*c3+d3; 3*a1+2*b1+c1=3*a2+2*b2+c2; 12*a2+4*b2+c2=12*a3+4*b3+c3; 6*a1+2*b1=6*a2+2*b2; 12*a2+4*b2=12*a3+4*b3
6 * a3 * x 2 * b3
② S(x)要通过已知的 4 个点，即 Si(xi)=yi (i=0,1,2,3),将（xi，yi）带入 S（x） 得到： d1=0; a1+b1+c1+d1=0.5; 8*a2+4*b2+2*c2+d2=2; 27*a3+9*b3+3*c3+d3=1.5; ③ S ' ( x ) 和 S ' ' ( x) 在区间[0,1]内连续，即要满足
数字计算频谱时，由于计算机容量和计算时间的限制，必须在采样时进行有限截取。 截取信号存在的主要问题是频谱泄露现象，即截取信号的有限一段进行数字计算 时得到的结果会产生有规律的偏差，频谱波形相对于原频谱铺散开来，原有谱值总体 减小，在谱值原本为零的频域出现非零值。要抑制频谱泄露，就需要进行合理的取样。 常用的取样方法有：加窗取样，将信号与一个在截取区间外恒为零的窗函数相乘后转 换，常用的窗函数有矩形窗、三角窗、汉宁窗、哈明窗等；截尾取样，即半边窗截尾， 适用于初始变化幅度较大的有始信号；补尾取样，适用于延续时间较长的有始信号。 ③ 此外，有时还要对数字计算频谱进行预处理，包括信号时移预处理和防混叠滤波
=≈0.06mm
所以被测量的测量结果：x=201.3mm±0.06mm ⑵如果只比较一次，则用 B 类评定计算不确定度，可以认为被测量服从均匀分布，所以 ux =
0 .2 3
≈0.12mm,其结果可表示为 x=199.9mm+测量的差值Δ x±0.12mm
二、 （20 分）设 f
其中 i 0,1,2,3 ，
哪些处理?为什么?这些处理会带来什么问题?其原因何在?如何解决问题? 对非 带限模拟信号作数字化频谱分析，要求分析的频率范围是 0~200Hz，频率分辨 力为 1Hz。试确定采样频率
解： ⑴ ① 数字计算频谱前首先必须对信号进行离散取样，因为数字计算机只能处理数字信
f s 、采样点数 N 和记录长度 。
二阶导数：
(0≤x≤1) (1≤x≤2) (2≤x≤3)
3 * a 2 * x 2 * b2 * x c 2