3
分解成两个一阶的方程:
∂u1 − a ∂u1 = v, ∂t ∂x ∂v ∂v
+ a = 0. ∂t ∂x
根据初值条件, 给出 u1 以 v 在 t = 0 上的初值条件
(1-1) (2-1)
u1(x, 0) = 0, v(x, 0) = ϕ(x).
(1-2) (2-2)
求得特征线, 它们分别是常微分方程 ∂x = −a, ∂t
微分算子可以分解为
∂ ∂∂ ∂
+a ∂t ∂x
−a ∂t ∂x
u1 = 0
(**)
可以把原方程
∂ ∂ ∂ ∂
+a
−a
∂t
∂x
∂t
∂x
u1(x, 0),
∂ ∂t
u1(x,
0)
=
ϕ(x),
u1 = 0,
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
v(x, t) = ϕ(x − at).
4
再由另一个方程得
t
u1(x1(t), t) = ϕ(x1(τ ) − aτ )dτ.
0
从 x1(t) = c − at 推出
t
1 c−2at
1 x+at
u1(x, t) =
ϕ(c − 2aτ )dτ = −
0
2a
c
ϕ(ξ)dξ =
ϕ(ξ)dξ.
2a x−at
• 沿着特征线将原方程化为关于 u = u(x(t, c), t) 的常微分方程 (其中 c 为参数), 并求出 u = u0(t, c)
• 从特征线方程解出 c = ϕ(x, t), 所求的解为 u = u0(t, ϕ(x, t))
2
一维波动方程 考虑一个特殊的初值问题
∂2u
∂
t2
−
a2 ∂2u ∂x2
dx = a,
dt x(0) = c
的解 x(t, c) = at + c 为方程 (∗) 的特征线. 沿着特征线 x = x(t, c) = at + c, 函数 u(x(t, c), t) 满足
du ∂u ∂u dx ∂u ∂u
=+
= + a = 0,
dt ∂t ∂x dt ∂t ∂x
即 u(x(t, c), t) 沿特征线 x = x(t, c) 为常数.
的解, 也就是说 (1-1) 的特征线是
∂x =a
∂t
x = x1(t) = c − at,
方程 (2-1) 的特征线是
x = x2(t) = c + at,
其中 c 表示任意常数.
沿着特征线, 方程 (1-1) 以及 (2-1) 可以化为常微分方程, 沿着 x = x1(t),
方程 (1-1) 具有形式
1 特征线法
• 考虑一个简单的常微分方程
dx =a
dt
• 积分一次，得到它的解为
x(t) = at + c
其中 c 为任意的常数.
最简单的情况 在区域 {−∞ < x < +∞, t > 0} 上求解 Cauchy 问题
∂u ∂u
+ a = 0,
∂t ∂x
(*)
u(x, 0) = u0(x).
我们称下列常微分方程初值问题
这样
∂ 1 x+at
1
u(x, t) =
ϕ(ξ)dξ = (ϕ(x + at) + ϕ(x − at)).
∂t 2a x−at
2
5
• 在初始点 t = 0, x = c,
u(x(t, c), t) = u(x(0, c), 0) = u(c, 0) = u0(c)
• 从而
u(x(t, c), t) = u0(c).
1
注意到
u(x(t, c), t) = u0(c).
由特征方程得到 c = x − at, 代入上式得到
这就是特征线解法
=
0,
u(x, 0) = ϕ(x),
∂
u(x,
0)
=
0,
∂t
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
上述问题的解为
∂ u = ∂t u1(x, t),

其中 u1(x, t) 为下面方程的解
∂2u1
∂t2
− a2 ∂2u1 ∂x2
=
0,
u1(x, 0) = 0,
du1(x1(t), t) dt
=
v(x1(t), t),
沿着 x = x2(t), 方程 (2-1) 具有形式
由初值条件得到
dv(x2(t), t) = 0. dt
v(x2(t), t) = v(x2(0), 0) = ϕ(x2(0)). 再由特征线方程 x2(t) = x, x2(0) = c = x − at, 从而求出
u(x, t) = u0(x − at).
• 从上述解的结构可以看出, 当 t ≤ 0, 初值只是简单的不变向右 (a > 0) 或者向左 (a < 0) 以速度 a 传播
• 解 u 在特征线 x − at = c 上为常数 u0(c).
特征线法 用特征线方程解一阶偏微分方程 • 求特征线 x = x(t, c)
∂ ∂t
u1(x,
0)
=
ϕ(x),
−∞ < x < +∞, t > 0, −∞ < x < +∞, −∞ < x < +∞.
这是因为
∂
∂
u(x, 0) = ∂t u1(x, t) t=0 = ϕ(x), ∂t
∂ u(x, 0) =
∂t
∂2 ∂t2 u1
t=0 =
a2
∂2 ∂x2
u1
t=0 = 0.