v0
v0
v0 0
连续条件：分段处挠曲轴应满足的连续、光滑条件
F
A B
M
D
C
$ 挠曲线在B、C点连续且光滑
连续: v左 v右
光滑: 左 右
例1：写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件
F
A
B
E
C
D
边界条件：
固定端: vA0,A0
自由端：无位移边界条件
可动铰:
vC 0
连续条件：
w C 左 0 ,w C 右 0 C 左 C 右
+
3 qa 2 4 +
_ qa 4
qa 2 32
qa 2 4
直线凹Βιβλιοθήκη 凹凸§7-4 用叠加法求弯曲变形
一、用叠加法计算梁的变形
在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下,载荷与它 所引起的变形成线性关系。
当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形 是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在 某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下 的变形，然后叠加。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件 的加工精度，甚至会出现废品。
F F
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
P
P
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。
例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形， 以缓解车辆受到的冲击和振动作用。
M(x) P x 2
EIv P x 2
EIv Px2 C 4
y
A
x
l 2
EIv Px3CxD 12
P
B
C
x
l 2
由边界条件： x0时， v0 得： D0
由对称条件： x l 时，v0 2
得： C Pl 2 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P (4x2l2)
16EI v Px(4x23l2)
x
例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力 P
作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax。
解： M (x)P (lx)
y
P
EvIP(lx) EvIPx2plxC
2
A
x l
B
x
EIvPx3Pxl2CxD 62
由边界条件： x0时v ， 0,v0
得： CD 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
Px(x2l)
2EI Px2 v (x3l) 6EI
y
A
x l
最大转角和最大挠度分别为：
maxB
Pl2
2EI
Pl3
vmaxvB
3EI
P
B
x
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力 P 作
用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max 和 vmax 。
y
A
x
l 2
P
B
C
x
l 2
解：AC段:
48EI
y
A
x
l 2
P
C l 2
B
x
最大转角和最大挠度分别为：
maxAB
P2l 16EI
vmaxv x2l 4P8El3 I
画挠曲线的大致形状
q qa 2
A
B
C
Q
D
a
a
a
M
d2v Mx
dx2 EI
F 根据弯矩图定凹凸性， F 弯矩图过零点处为拐点， F 支座限定支座处的位移。
大致形状
3 qa 4
第7章 弯曲变形
※ 工程问题中的弯曲变形 ※ 挠曲线的近似微分方程 ※ 用积分法求弯曲变形 ※ 用叠加法求弯曲变形 ※ 简单静不定梁 ※ 提高弯曲刚度的措施
§7-1 概 述
一、工程实践中的弯曲变形问题
在工程实践中，对某些受弯构件，除要求 具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即 要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正 常工作。
P
例5：用叠加法求 vC、A、 B 。
M
q
A
C
B
l
l
2
2
P
A
C
B
l
l
2
2
q
A
C
B
M
A
C
B
vCP
Pl3 48EI
vCq
5ql4 384EI
vCM
ml2 16EI
P 3l 5 q4l m 2 l v C v C P v C q v C M (4E 8 I 3E 8 4 I 1E 6 )I
P
A
dx
§7-2 梁挠曲线的近似微分方程
中性层曲率表示的弯曲变形公式
1 M （纯弯） ρ EI
1 M(x) （推广到非纯弯）
(x) EI
由高等数学知识
1
v(x)
(x) 1[v(x)]2
32
挠曲轴微分方程
v(x)
1[v(x)]2 32
Mx
EI
方程简化
v(x)
1[v(x)]2 32
Mx
EI
w B 左 w B 右 ,w E 左 w E 右E 左 E 右
例2：已知梁的抗弯刚度为 EI。试求图示简支梁在均布载荷q 作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定 max 和 vmax。
q
A
B
l
解：
M(x)ql xqx2 22
EIv ql xqx2
y
22
q
EIvqlx2qx3C
A
x
46
l
EIvqlx3qx4CxD 12 24
由边界条件： 得：
x 0时，v 0 x l时，v 0 Cql3 , D0
24
B
x
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
q (6lx24x3l3)
y
24EI
q
v qx (2lx2x3l3)
A
x
24EI
l
最大转角和最大挠度分别为：
maxAB2q4lE 3I
vmax
v
xl 2
5ql4 384EI
B
小变形时： v2 1
d2v Mx
dx2 EI
正负号确定——确定坐标系: v 向上为正, 逆时针为正.
v
x
M0,v0
v
x
M0,v0
§7-3 用积分法求弯曲变形
EIvM(x)
EIvM(x)dxC E Iv M (x)d x d x C D x
F C、D为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
边界条件：梁截面的已知位移条件
C
B
l
l
2
2
q
A
C
B
M
A
C
B
A
P
Pl2 16EI
A
q
ql3 24EI
A
M
ml 3EI
AAPAqAM
例6：若图示梁B 端的转角 B=0，则力偶矩 M 等于多少？
解：
B BP BM
Pa 2 M 2a
2EI EI 0
P
A C
a
M
B
a
P
A
C
B
M Pa 4
M
A
C
B
例7: 求图示外伸梁 C 点的挠度和转角。
q
静定梁或刚架的任一横
A
C B
l
a
截面的总位移，等于各 梁段单独变形 (其余梁段 刚化)在该截面引起的位
q
移的代数和或矢量和
A
C
B
l
a
仅考虑BC段变形(刚化AB,
二、弯曲变形的基本概念
x l
A F
(x)
x l
v(x) B
描述截面上任一点的位移: 1、形心轴的线位移 —— 挠度 v
2、截面绕形心轴的角位移 ——转角
二、弯曲变形的基本概念
x l
A F
(x)
x l
v(x) B
F 变弯的形心轴 —— 挠曲线 F 挠度随坐标变化的方程 —— 挠曲线方程 v f(x) F 忽略剪切变形 + 梁的转角一般很小 —— θtanθdf(x)