第一课时在一条线段上植树（两端都栽）教学设计教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第 106 页例 1 及相关内容。

教学目标：1．建立并理解在线段上植树（两端都栽）的情况中“棵数=间隔数+1”的数学模型。

2．利用线段图理解“点数=间隔数+1”“总长=间隔数×间距”等间隔数与点数、总长、间距之间的关系，解决生活中的实际问题。

教学重点：建立并理解“点数=间隔数+1”的数学模型。

教学难点：培养用画线段图的方法解决问题的意识，并能熟练掌握这种方法。

教学准备：课件。

教学过程：一、情境出示，设疑激趣教师：哪位同学知道我们国家设立的植树节是在哪一天？（3 月 12 日）在这一天的植树活动中，遇到了这样一个问题。

（课件出示问题）例 1：同学们在全长 100 m的小路一边植树，每隔 5 m栽一棵（两端要栽）。

一共要栽多少棵树？教师：你能利用所学的知识解决问题吗？预设 1：20 棵。

（教师追问：你是怎么想的？）每隔 5 m栽一棵，共栽 100÷5=20 （棵）。

预设 2：我认为是 21 棵，因为题目中写着“两端要栽”，所以要再加 1 棵。

教师：你认为哪一个结果是正确的？（指名回答）【设计意图】直接出示例题的情境，通过学生的尝试解答，既是对教学起点的了解，又利用两种不同的结果设置疑问，激发了学生探求新知的热情。

二、经历过程，感受方法教师：可以用怎样的方法进行检验呢？（画线段图）那我们可以在草稿本上试一试。

遇到了什么困难？预设：100 m太长了，不太好画。

（追问：那我们可以怎么办？）学生：可以先用简单的数试一试。

（课件出示）【设计意图】使学生经历分析思考的整个过程，感受“猜测──验证”的学习方法。

在实际操作中发现问题有助于激发学生的思考，从而深刻地体会“从简单事例中发现规律，并利用此规律解决较复杂问题”的数学思想。

三、探索实践，建立模型教师：先看看 20 m的距离，在两端都栽的情况下可以栽几棵树，在草稿本上画一画。

实物投影或课件出示：教师：说说你是怎么想的？预设：20÷5=4，20 m被平均分成 4 段，因为两端要栽，所以要栽 5 棵树。

教师：再画一画，25 m可以栽几棵树？（学生操作）谁来说说你的想法？预设：25÷5=5，就是把 25 m平均分成了 5 段，因为两端都要栽，所以要栽 6 棵树。

还可以这样画：这里的蓝色线段表示什么？（间隔数）红色线段呢？（植树棵数）教师：不画图，你能把下面的表格填写完整吗？（根据学生回答，教师在课件上输入数据）你发现了什么规律？预设：棵数要比间隔数多 1。

（追问：可以用怎样的一个式子表示？）棵数=间隔数+1。

教师：谁能说说为什么要“+1”？（因为两端都要栽，所以栽树的棵树比间隔数多 1。

）你能用发现的规律解决开头的问题吗？（指名回答，分析讲解）教师：回顾这个问题的解答过程，说说你的想法。

归纳小结：在解决较复杂或数据较大的问题时，可以先从简单数据出发得出规律，然后将规律运用于复杂问题进行解决。

【设计意图】“画示意图──抽象出线段图──不画图”的教学过程，体现了从具体到抽象、从特殊到一般的设计理念，也正是在这一进程中，通过积极有效的教学活动，使学生建立起“一条线段两端都栽”这类植树问题的数学模型。

四、利用新知，解决问题教师：根据刚才学到的知识，还可以解决许多生活中的问题。

（课件出示问题） 1．在一条全长 2 km的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔 50 m安一盏。

一共要安装多少盏路灯？教师：读完这个题目，你觉得有哪些地方需要特别引起注意？预设1：单位不统一，要先进行转化再计算。

预设 2：两旁。

（追问：表示什么？）就是两边。

你能通过画图的方法表示出“两旁”吗？在计算时该怎样体现？（先算出一边的路灯的数量，再乘以 2。

）学生练习，指名回答。

2 km=2000 m （2000÷50+1）×2=82（盏）答：一共要安装 82 盏路灯。

教师：2000÷50 算的是什么？（间隔数）“+1”说明了什么？（两端都要安装）2．马路一边栽了 25 棵梧桐树。

如果每两棵梧桐树中间栽一棵银杏树，一共要栽多少棵？教师：仔细读题，认真思考，说说你对这个题目的理解。

引导得出：要求一共栽多少棵银杏树，实际就是求梧桐树的间隔数。

由“棵数= 间隔数+1”可得“间隔数=棵数-1”。

25-1=24（棵）答：一共要栽 24 棵银杏树。

教师：可以用怎样的方法验证结果是否正确？（可以先用比较简单的例子，通过画线段图的方法进行验证）和这题有关的简单的例子，我们只要张开一只手。

五个手指相当于题目中的？（梧桐树）每两个手指之间栽一棵（银杏树），可以栽几棵？你还有其他的方法吗？【设计意图】练习中的实际问题，相比例题有一些变化，对于学生的理解能力提出了更高的要求。

第 1 题用画图的方法直观地表示出“两旁”，解决了算式中为什么要“×2”的问题；第 2 题先让学生思考，说说自己的理解，验证的环节既是对方法的回顾，又体现了数学的趣味性。

五、逆向思考，拓展新知园林工人沿一条笔直的公路一侧植树，每隔 6 m种一棵，一共种了 36 棵。

从第 1 棵到最后一棵的距离有多远？教师：读题并思考，要求“从第 1 棵到最后一棵的距离”就是求什么？（路长）跟例题相比，有什么不同？预设：例题是知道了路长求栽树的棵数，这题是知道了栽树的棵数，求路线长度。

教师追问：该怎样解答呢？试一试，并说说你的思路。

（36-1）×6=210（m）答：从第 1 棵到最后一棵的距离是 210 m。

教师：“36-1”算的是什么？（间隔数）再根据“间隔数×间隔距离=路长”计算。

【设计意图】通过变式练习，加深学生对例题中发现的规律的理解。

该题是植树问题数学模型的逆向应用，有了前一题“间隔数=棵数-1”的知识为基础，学生应该能比较容易地解决这一问题。

对于学习有困难的同学，也可引导他们用画线段图的方法解答。

六、回顾思考，全课总结教师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。

根据学生回答，强调： 1．解决两端都要栽的植树问题的数学模型：棵数=间隔数+1。

2．当遇到较为复杂的数学问题时，可以先从简单的事例中发现规律，然后应用找到的规律来解决原来的问题。

第二课时在一条线段上植树（两端都不栽）教学设计教学内容：人教版小学数学教材五年级上册第 107 页例 2 及相关内容。

教学目标：1．建立并理解在线段上植树（两端都不栽）的情况中“棵数=间隔数-1”的数学模型。

2．通过画线段图初步培养学生探索解决问题的有效方法的能力，尝试用植树问题的模型解决实际生活中的简单问题，培养应用意识。

教学重点：建立并理解“棵数=间隔数-1”的数学模型。

教学难点：培养学生探索解决问题的有效方法的能力。

教学准备：课件。

教学过程：一、创设情境，复习引入教师：上节课，我们学习了植树问题中两端都栽的情况，谁能说一说是用怎样的数学模型解决这类问题的？（棵数=间隔数+1）能快速地完成下一题吗？（课件出示题目）准备题：绿化队要在相距 60 m的小路一边植树（两端都栽），相邻两棵树之间的距离是 3 m。

一共要栽多少棵树？指名回答：60÷3+1=21（棵）答：一共要栽 21 棵树。

再来看看这一题（课件出示例 2）认真思考，这两个题目有什么不同？大象馆和猴山相距 60 m。

绿化队要在两馆间的小路两旁栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是 3 m。

一共要栽多少棵树？【设计意图】例 2 是在例 1 的基础上教学的，对已学知识的复习是为了找准知识迁移的“原点”，为下一个环节的教学做好铺垫。

二、比较分析，迁移新知教师：你能用画图的方法表示出你的发现吗？同桌之间可以互相交流。

（指名汇报）预设 1：准备题是一边，例 2 是小路两旁。

（追问：在图上该如何表示？）就是有两条线段。

（怎么计算？）只要先算出一边的树木数量，再“×2”就可以了。

预设 2：准备题是两端都栽，例 2 是两端不栽。

（追问：你能通过示意图说说为什么吗？）因为小路的两端都是场馆。

教师：这个题目该如何解决呢？你想到了什么方法？（可以先从简单的事例中发现规律）请你在草稿本上试一试。

【设计意图】通过比较分析，使学生更为深刻地理解题意，引导“用画图的方法表示出来”对于培养学生良好的审题习惯具有非常重要的作用。

该环节的设计还重点突出了对“先从简单的事例中发现规律，再将规律应用于问题的解决”这一数学方法的迁移。

三、理解归纳，得出模型指名回答，过程预设：1．先画一个简单的线段图看看，以 20 m长的线段为例，在两端都栽的情况下“棵数=间隔数+1”，需要栽 5 棵树。

2．同样长的线段，在两端都不栽的情况下只需要栽 3 棵树，也就是说栽的棵数比间隔数少 1。

（教师追问：可以用怎样的数学模型表示？）棵数=间隔数-1。

教师：你能用不同的方法试一试，对这一数学模型进行验证吗？（学生操作，交流发现。

）运用这一模型，例 2 可以怎样解答？60÷3-1=19（棵） 19×2=38（棵）答：一共要栽 38 棵树。

教师追问：为什么要“×2”？（因为小路两旁都要栽树）教师小结：我们一起来回顾一下这个题目的解决过程。

通过与例 1 中两端都栽的植树问题相比较，采用同样的方法得出了两端不栽的植树问题的数学模型，即棵数=间隔数-1。

【设计意图】通过教师的引导，促使学生自主探索，经历了问题解决的整个过程，对数学思想的渗透也在知识的迁移和转化过程中得到了体现。

在教学实际中，可结合“你能用不同的方法对这一数学模型进行验证吗？”这一问题，进行开放式的教学实践，鼓励学生用自己的方法探索出规律。

四、课堂练习，应用新知教师：利用这一数学模型，还能解决许多生活中的问题。

1．一条走廊长 32 m，每隔 4 m摆放一盆植物（两端不放）。

一共要放多少盆植物？学生练习，指名回答： 32÷4-1=7（盆）答：一共要放 7 盆植物。

教师：如果改为两端都放，该怎么算？32÷4+1=9（盆）教师：这两种不同的摆法相差几盆？（2 盆）为什么？（两端都放时，盆数= 间隔数+1；两端都不放时，盆数=间隔数-1。

）2．一根木头长 10 m，要把它平均分成 5 段。

每锯下一段需要 8 分钟，锯完一共要花多少分钟？教师：这个问题和我们学习的植树问题有关联吗？属于植树问题中的哪一种情况？可以先用画图的方法试一试。

学生练习，分析讲评： 10÷5-1=4（次） 8×4=32（分钟）答：锯完一共要花 32 分钟。

【设计意图】第 1 题在完成后进行了比较练习，加深了学生对两种不同数学模型之间关系的认识；第 2 题虽然不是植树的情境，但规律是相同的，引导学生通过画线段图的方法即可抓住题目的本质，同时扩展了学生对所学知识的应用视野。