k2 4 21＋k2
＝98，
1＋2k2
即1＋k22k21＋1k＋2 8k2＝
9， 2
即 81k4(1＋k2)＝2(1＋2k2)2(1＋8k2)，
整理得 17k6＋9k4－24k2－2＝0，
即(k2－1)(17k4＋26k2＋2)＝0，解得 k＝±1.
故存在直线 l：y＝x－2 或 y＝－x＋2 满足题意．
(2)根据直线系方程过定点时参数没有关系(即直线系方程 对任意参数都成立)，得到方程组fgxx，，yy＝＝00，.
(3)以(2)中方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点， 若定点具备一定的限制条件，可以特殊解决．
[例 3] 已知椭圆 C：x42＋y2＝1，过椭圆 C 的右顶点 A 的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点 M，N.问：直 线 MN 是否过定点 D？若过定点 D，求出点 D 的坐标；若不 过定点，请说明理由．
(2)本题可将直线方程巧设为 x＝my－1，用含 m 的式子 表示出|S1－S2|，并求其最大值．显然，此法无需考虑直线的 斜率是否存在，是解决此类问题的最佳选择．
提能点(二)
灵活运用策略， 尝试“借石攻玉”
策略1
点差法：解决中点弦问题
在圆锥曲线中，有关弦的中点条件，可利用点差法求解，
即对于圆锥曲线 ax2＋by2＝1 来说，当两点 M(x1，y1)，N(x2，
12 12
＝ 3，当且仅当 m＝±233时取等号，所以|S1－S2|的最大值为 3.
[微评] (1)当直线 l 的斜率不存在时，可知直线方程为 x ＝－1；当直线 l 的斜率存在(显然 k≠0)时，可设直线方程为 y＝k(x＋1)(k≠0)．求解时一定要分直线 l 的斜率不存在与直 线 l 的斜率存在两种情况作答，缺少任何一种情况，步骤都 是不完整的．
所以|S1－S2|的最大值为 3.
法二：设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线 l 的方程为 x＝my－1， 与椭圆 M 的方程联立，消去 x，得(3m2＋4)y2－6my－9＝0，Δ>0
恒成立，且 y1＋y2＝3m62m＋4，
故|S1－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝31m22|＋m|4＝3|m1|＋2 |m4 |≤2
[微评] 本题易忽视椭圆的焦点在 y 轴上，从而写错轨迹 方程．注意不管是用待定系数法还是定义法求圆锥曲线的方 程，都要明确焦点的位置．另外，要正确运用 a，b，c 之间 的等量关系式，否则会产生错解.
失误2
因求解圆锥曲线的综合问题时不能合理转化 已知条件而受阻
[例 2] 已知椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22，椭 圆 C 和抛物线 y2＝x 交于 M，N 两点，且直线 MN 恰好过椭圆 C 的右焦点 F.
策略2
联立方程法：解决对称问题
圆锥曲线上存在两点，关于某条直线对称，求参数的取
值范围，这类问题常见的解法是：设 P(x1，y1)，Q (x2，y2)是
圆锥曲线上关于直线 y＝kx＋b 对称的两点，则 PQ 的方程为 y＝－1kx＋m，代入圆锥曲线方程，得到关于 x(或 y)的一元二 次方程，其中 P，Q 的横(或纵)坐标即为方程的根，故 Δ>0， 从而求得 k(或 b)的取值范围．
失误3
因忽视直线的斜率是否存在而失分
[例 3] 已知椭圆 M：ax22＋y32＝1(a>0)的一个焦点为 F(－1,0)， 左、右顶点分别为 A，B，经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C， D 两点．
(1)求椭圆 M 的方程；
[解] 因为 F(－1,0)为椭圆 M 的焦点，所以 c＝1， 又 b＝ 3，所以 a＝2， 所以椭圆 M 的方程为x42＋y32＝1.
则|AB|＝
1＋k2|x1－x2|＝4
21＋k2 1＋2k2 .
由yy＝2＝kxx－2， 得 k2x2－(4k2＋1)x＋4k2＝0， Δ2＝8k2＋1>0，x3＋x4＝4k2k＋2 1，x3x4＝4，
则|CD|＝
1＋k2|x3－x4|＝
1＋k21＋8k2
k2
.
1＋k21＋8k2
由||CADB||＝98，得
y2)在曲线上时，一定满
足
ax21＋by21＝1， ax22＋by22＝1，
从而两式相减得
xy22－－yx11＝－abxy22＋＋xy11＝－abxy00，其中(x0，y0)是 MN 的中点．
[例 1] 已知椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，
过点 F 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为
(2)记△ABD 与△ABC 的面积分别为 S1 和 S2，求|S1－S2| 的最大值．
[解] 法一：当直线 l 的斜率不存在时，直线方程为 x＝－1，
此时△ABD 与△ABC 的面积相等，即|S1－S2|＝0. 当直线 l 的斜率存在时，设 C(x1，y1)，D(x2，y2)，直线 l 的方
程为 y＝k(x＋1)(k≠0)，与椭圆 M 的方程联立，消去 y，得(3＋4k2)x2
即 M18＋k2－4k22，1－＋44kk2. 设直线 AN 的斜率为 k′，则 kk′＝－14，即 k′＝－41k， 把点 M 坐标中的 k 替换为－41k，得 N42k－2＋8k12，4k42＋k 1. 当 M，N 的横坐标不相等，即 k≠±12时，kMN＝1－2k4k2，直 线 MN 的方程为 y－4k42＋k 1＝1－2k4k2·x－24－k2＋8k12，即 y＝1－2k4k2x， 该直线恒过定点(0,0)．当 k＝±12时，M，N 的横坐标为零， 直线 MN 也过定点(0,0)． 综上可知，直线 MN 过定点 D(0,0)．
当 MN 的斜率不存在时，点 M，N 关于 x 轴对称，此时 AM，AN 的斜率分别为12，－12，此时 M，N 恰为椭圆的上、 下顶点，直线 MN 也过定点(0,0)．
综上可知，直线 MN 过定点 D(0,0)． 法二：根据已知直线 AM，AN 的斜率存在且不为零， A(2,0)．设 AM：y＝k(x－2)， 代入椭圆方程，得(1＋4k2)x2－16k2x＋16k2－4＝0， 设 M(x1，y1)，则 2x1＝116＋k24－k24， 即 x1＝81k＋2－4k22，y1＝k(x1－2)＝1－＋44kk2，
“解析几何” 提能点(一)实防现止“思移维花定 接式木，”
失误1
求圆锥曲线方程时忽视焦点的位置致误
[例 1] 已知ห้องสมุดไป่ตู้ O：x2＋y2＝9，A(0,2)，P 为动点，以线段
AP 为直径的圆内切于圆 O，则动点 P 的轨迹方程是________．
[解析] 设线段 AP 的中点为 M，N 为切点，连接 OM，
[微评] 求解本题第(2)问的常规思路是用关于 k 的代数 式表示出△OCD，△PAB 的面积，代入 S△OCD＝97S△PAB，判断 所得方程是否有解．注意到此解法计算量较大，极易出错， 甚至难以进行下去，故可先将面积比转化为弦长比，再进行 计算，虽然转化过程较复杂，但计算量相对较小．在解答类 似的综合问题时，一定要注意对已知条件进行转化，通过合 理转化降低计算量，简化解题步骤.
由条件知 P14，0，F(2,0)，SS△△OPACBD＝78SS△△OOCADB＝87SS△△OOCADB＝87||CADB|| ＝97，故||CADB||＝98.
由 x82＋y42＝1， y＝kx－2
得 (1 ＋ 2k2)x2 － 8k2x ＋ 8k2 － 8 ＝ 0 ， Δ1 ＝
32k2＋32>0，x1＋x2＝1＋8k22k2，x1x2＝81k＋2－2k82，
MN，则|OM|＋|MN|＝|ON|＝3.
取 A 关于 x 轴的对称点 A1，连接 A1P，则|A1P|＋|AP|＝ 2(|OM|＋|MN|)＝6，
又|AA1|＝4<6，所以点 P 的轨迹是以 A(0,2)，A1(0，－2)
为焦点的椭圆，且 a＝3，c＝2，b2＝a2－c2＝5，
故动点 [答案]
Py9的2＋轨x52迹＝方1 程为y92＋x52＝1.
[例 2] 已知抛物线 C：y2＝x 与直线 l：y＝kx＋34，要使 C 上存在关于直线 l 对称的两点，求实数 k 的取值范围．
[解] 设 C 上的 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点关于直线 l 对称， 线段 AB 的中点为 M(x0，y0)，
则yy2122＝＝xx12，， 两式相减，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2. ∵y1＋y2＝2y0，AB⊥l，∴kAB＝xy11－－yx22＝21y0＝－1k，∴y0＝－k2. 代入 y＝kx＋34，得 x0＝y0－k 34＝－12－43k. ∵点 M 在抛物线内部，∴y02<x0，即k42<－12－43k， 整理得 k2＋3k＋2<0.不等式等价于1k(k＋1)(k2－k＋3)<0， 解得－1<k<0，∴k 的取值范围为(－1,0)．
(1，－1)，则椭圆 E 的方程为
()
A.4x52＋3y62 ＝1 C.2x72＋1y82 ＝1
B.3x62＋2y72 ＝1 D.1x82 ＋y92＝1
[解析] 由题意知直线 AB 的斜率 k＝0－3－－11＝12，
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xxaa212222＋ ＋bbyy212222＝＝11，，
＋8k2x＋4k2－12＝0，Δ>0 恒成立，且 x1＋x2＝－3＋8k42k2，此时|S1
－S2|＝2||y2|－|y1||＝2|y1＋y2|＝2|k(x1＋1)＋k(x2＋1)|＝2|k(x1＋x2)＋
2k|＝31＋2|4kk| 2＝|k3|＋124|k|≤2
12 ＝ 12
3当且仅当k＝± 23时，取等号，
[微评] 由于 A，B 两点在抛物线 C 上，所以 AB 的中 点在抛物线的内部.