求两条异面直线之间距离的两个公式
王文彬
（抚州一中 江西 344000）
本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.
1.公式一
如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ⊂平面α，1l A α⋂=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ⋂=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为
d =
（1）
证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如 图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α，
NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知
2NH l ⊥.
在Rt BNH ∆中
22cos ()cos BN BH AB AH θθ==-
12(cos )cos m AM θθ=-……………………………①
同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得
图1
212
22
12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221
22
12cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2） 从而
212
112212cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==⋅-
221
2222
12
cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==⋅- ()
()
2
2
2
2
2
4
22421
212122
2
2
1
2
cos sin
sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+=
+-
()
()2
2
4242121122
2
2
1
2
sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ=
+- ()
()2
22222121212
2
212sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ=
⋅+-
()
()2
2222221212122
2
2221212sin sin sin sin sin sin sin
sin sin sin m θθθθθθθθθθ=
⋅+-+- 22212
2222
1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立.
运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线
MN 具体位置.
2.公式二
如图2，1l 、2l 是异面直线，1A l ∈，2AH l ⊥于H ，1l 与AH ，1l 与2l 所成的角分别为,αθ，
AH m =，则1l 与2l 之间的距离为
d = （2） 证明：过A 作2//l l ，设由l 与2l 确定的 平面为δ，MN 为1l 与2l 公垂线，如图2所 示.
过M 作MK l ⊥于K ，连KN ，易知
NK l ⊥，AHNK 为矩形.
在Rt MNH ∆中，
2222222cos MN MH NH AH AM AH AM AK α=-=+-⋅- 22222cos m AK MK m AM AK α=++-⋅- 222cos m MK m AM α=+-⋅
222cos sin MK
m MK m αθ
=+-⋅
⋅ 由于1,MN l MN l ⊥⊥，故MN ⊥平面AMK ，从而090NMK ∠=.
22222MK NK MN m MN =-=-，代入上式并解出MN 就是公式（2）.
另外，sin MK
AM θ
=
=2）代入得
2cos sin m AM α
θ
=
（2.1）
图2
又cos HN AK AM θ==，将上式代入得
2cos cos sin m HN θα
θ
=
（2.2）
公式（1）（2）可以帮助我们定量地确定公垂线MN 的位置.
3.公式的应用
【例1】四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥底面AC ，2SD =，,E F 分别是,SA BC 的中点，求异面直线EF 与BD
的距离，并确定公垂线的位置. 【解】取AD 的中点G ，连EG 、GF ，设
GF BD O ⋂=，因SD ⊥底面AC ，易知EG ⊥ 面AC ，EF 在底面内的射影为GF ，
001245,45EFG BOF θθ=∠==∠=，
1
2
m OF ==
，代入公式（1）可得EF 与BD 设EF 与BD 的公垂线为MN ，其中,M EF N BD ∈∈，
将12,θθ与m 的值代入公式（1.1）和（1.2）可分别求得FM =
，ON =，而2EF OB ==
，故有11
,63
FM EF ON OB ==，由此不难作出公垂线MN . 【例2】如图4，111ABC A B C -是直三棱柱，其中0120ACB ∠=，AC =CB =1BB =1AB 与1CC 的距离，并确定公垂线的位置. 【
解】连
1
CB ，则
1CB ===，
A
图3
B
C
D S
G
F E O
22202cos12021AB AC BC AB BC =+-⋅=
，222211112149AB AA A B =+=+=，AC 与1AB 所
成的角是1CAB ∠，设为α，则
222111cos 2AB AC CB AB AC α+-==
⋅ 又1AB 与1CC 所成的角为11A AB ∠，设为
θ
，则111sin 7
A B AB θ=
=
. 根据公式（2），1AB 与1CC 的距离为
d AC ==
=设1AB 与1CC 的公垂线为MN ，11,M AB N CC ∈∈，易知,M N 分别在射线11,AB CC 上，且
2cos 2
sin AC AM α
θ
⋅=
=
，2cos cos sin AC CN θαθ==，
而117,AB CC ==，故有
112
7
AM CN AB CC ==，由此不难确定公垂线MN 的位置.。