（新教材）北师大版精品数学资料第一章基础知识检测本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角[答案] C[解析] 终边相同的角相差k ·360°(k ∈Z )，故A 不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B 不正确；而C 正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D 不正确．2．(tan x ＋1tan x)cos 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D ．1tan x[答案] D[解析] (tan x ＋1tan x )cos 2x ＝(sin x cos x ＋cos xsin x )cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x sin x cos x ·cos 2x ＝cos x sin x ＝1tan x.3．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝( ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32[答案] B[解析] 由cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 4．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[答案] C[解析] 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第三象限角． 5．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( ) A ．[－π，0]上的增函数 B ．⎣⎡⎦⎤－34π，π4上的增函数 C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的增函数 D ．⎣⎡⎦⎤π4，54π上的增函数 [答案] B[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移π4后得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤－34π，π4上是增函数．6．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( )A ．3B ．32C ．23D ．13[答案] A[解析] 函数y ＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，它与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.故应选A.7．(2014·安徽理，6)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f (23π6)＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12[答案] A[解析] 本题考查递归运算，诱导公式． f (236π)＝f (176π)＋sin 176π ＝f (116π)＋sin 116π＋sin 176π＝f (56π)＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π＝0＋12－12＋12＝12.8．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图像( ) A ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 B ．关于直线x ＝π4对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于直线x ＝π3对称[答案] A[解析] T ＝π⇒ω＝2⇒f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝0. ∴f (x )关于⎝⎛⎭⎫π3，0对称，故选A.9．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝cos ωx 的图像，只要将y ＝f (x )的图像( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向右平移π8个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向右平移π4个单位长度[答案] A[解析] 本小题主要考查简单的三角函数的性质和图像． ∵T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 又∵sin(2x ＋π4)错误!sin 错误!＝sin(2x ＋π2)＝cos2x∴ y ＝f (x )图像左移π8个单位即得g (x )＝cos2x 的图像．故选A.10．已知将函数y ＝sin(x －π3)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π3个单位，所得函数图像的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π4B ．x ＝5π3C ．x ＝4π3D ．x ＝π[答案] C[解析] 由已知得y ＝sin(x －π3)→y ＝sin(12x －π3)→y ＝sin[12(x ＋π3)－π3]＝sin(12x －π6)．令12x －π6＝k π＋π2，得x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )，即函数的对称轴方程为x ＝2k π＋4π3(k ∈Z )． 第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上) 11．y ＝sin x －|sin x |的值域是________． [答案] [－2,0][解析] 去掉绝对值符号，将函数化简再求值域． y ＝sin x －|sin x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，sin x ≥0，2sin x ，sin x <0.作出函数图像如图所示．12．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是________． [答案] 18[解析] ∵l ＝αR ，∴R ＝lα＝6.根据扇形面积公式有S 扇＝12lR ＝12×6×6＝18.13．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为2π，且当x ∈[0，π]时f (x )＝sin x ，则f (53π)＝________.[答案]32[解析] 由题意可知f (53π)＝f (53π－2π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.14．函数y ＝sin(π6－2x )的单调递减区间是________．[答案] [－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )[解析] y ＝sin(π6－2x )＝－sin(2x －π6)．－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z )． 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π(k ∈Z )．15．下列命题中，正确命题的序号是________． ①函数y ＝sin|x |不是周期函数． ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ③函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos 2x ＋12的周期是π2. ④y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π2是偶函数． [答案] ①④[解析] ②中y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数，③中y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期为π.三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)设tan(α＋8π7)＝a ，求sin (15π7＋α)＋3cos (α－13π7)sin (20π7－α)－cos (α＋22π7)的值．[解析] 原式＝sin (π＋8π7＋α)＋3cos (α＋8π7－3π)sin (4π－8π7－α)－cos (α＋8π7＋2π)＝－sin (8π7＋α)－3cos (α＋8π7)－sin (8π7＋α)－cos (α＋8π7)＝tan (8π7＋α)＋3tan (8π7＋α)＋1＝a ＋3a ＋1.17．(本小题满分12分)求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6，当x ∈⎣⎡⎭⎫－π3，53π时函数的最大值与最小值．[解析] 当x ∈⎣⎡⎭⎫－π3，53π时， 12x －π6∈⎣⎡⎭⎫－π3，23π，令t ＝12x －π6， ∵y ＝2sin t 在⎣⎡⎭⎫－π3，23π上的单调性为在⎣⎡⎦⎤－π3，π2上增，在⎣⎡⎭⎫π2，23π上减． ∴当12x －π6＝－π3即x ＝－π3时，函数取最小值，y min ＝2sin(－π3)＝－3，当12x －π6＝π2即x ＝43π时，函数取最大值，y max ＝2. 18．(本小题满分12分)已知|x |≤π6，求函数f (x )＝－sin 2x ＋sin x ＋1的最小值．[分析] 利用换元法转化为求二次函数的最值问题． [解析] 令t ＝sin x ，∵|x |≤π6，∴－12≤sin x ≤12.则y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －12)2＋54(－12≤t ≤12)．∴当t ＝－12时，即x ＝－π6时，f (x )有最小值，且最小值为－(－12－12)2＋54＝14.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a (a 为实常数)．且当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12时，f (x )的最大值与最小值之和为3.(1)求实数a 的值；(2)说明函数y ＝f (x )的图像经过怎样的变换可以得到函数y ＝sin x 的图像？ [解析] (1)依题意有f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋a ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12⇒2x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6⇒2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， ∴12≤sin(2x ＋π3)≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧f (x )max ＝2＋a f (x )min ＝1＋a ，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2sin(2x ＋π3)．将函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图像先向右平移π6个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12倍(横坐标不变)，便得到函数y ＝sin x 的图像．20．(本小题满分13分)如图，它表示电流I ＝A sin(ωt ＋φ)在一个周期内的图像．(1)试根据图像写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)在任意一段1100秒的时间内，电流I 有可能既取得最大值|A |，又取得最小值－A 吗？[解析] (1)观察图像，A ＝3， ∵T ＝2(120－150)＝350，∴ω＝2πT ＝100π3.由ω·150＋φ＝π可解得φ＝π3.∴I ＝3sin(100π3t ＋π3)．(2)∵T ＝350>1100，∴不可能在任意一段1100秒的时间间隔内，I 既取得最大值|A |，又取得最小值－|A |.21．(本小题满分14分)已知f (x )＝sin x2|cos x |. (1)判断f (x )的奇偶性；(2)画出f (x )在[－π，π]上的简图；(3)求f (x )的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． [解析] (1)∵cos x ≠0，∴x ≠k π＋π2(k ∈Z )．∴函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝sin (－x )2|cos (－x )|＝－sin x 2|cos x |＝－f (x )，∴此函数为奇函数． (2)f (x )＝sin x2|cos x |＝⎩⎨⎧22tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2，－22tan x ⎝⎛⎭⎫－π≤x <－π2或π2<x ≤π，图像如图所示，(3)T ＝2π，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎦⎤π2，π.。