第二章 刚体力学基础 自学练习题一、选择题4-1.有两个力作用在有固定转轴的刚体上:(1)这两个力都平行于轴作用时,它们对轴的合力矩一定是零; (2)这两个力都垂直于轴作用时,它们对轴的合力矩可能是零; (3)当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零; (4)当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零; 对上述说法,下述判断正确的是:( )(A )只有(1)是正确的; (B )(1)、(2)正确,(3)、(4)错误; (C )(1)、(2)、(3)都正确,(4)错误; (D )(1)、(2)、(3)、(4)都正确。
【提示:(1)如门的重力不能使门转动,平行于轴的力不能提供力矩;(2)垂直于轴的力提供力矩,当两个力提供的力矩大小相等,方向相反时,合力矩就为零】4-2.关于力矩有以下几种说法:(1)对某个定轴转动刚体而言,内力矩不会改变刚体的角加速度; (2)一对作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零;(3)质量相等,形状和大小不同的两个刚体,在相同力矩的作用下,它们的运动状态一定相同。
对上述说法,下述判断正确的是:( )(A )只有(2)是正确的; (B )(1)、(2)是正确的;(C )(2)、(3)是正确的; (D )(1)、(2)、(3)都是正确的。
【提示:(1)刚体中相邻质元间的一对内力属于作用力和反作用力,作用点相同,则对同一轴的力矩和为零,因而不影响刚体的角加速度和角动量;(2)见上提示;(3)刚体的转动惯量与刚体的质量和大小形状有关,因而在相同力矩的作用下,它们的运动状态可能不同】3.一个力(35)F i j N =+作用于某点上,其作用点的矢径为m j i r )34(-=,则该力对坐标原点的力矩为 ( )(A )3kN m -⋅; (B )29kN m ⋅; (C )29kN m -⋅; (D )3kN m ⋅。
【提示:(43)(35)4302092935i j kM r F i j i j k k k =⨯=-⨯+=-=+=】4-3.均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴 转动,如图所示。
今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆 到竖直位置的过程中,下述说法正确的是:( ) (A )角速度从小到大,角加速度不变;(B )角速度从小到大,角加速度从小到大; (C )角速度从小到大,角加速度从大到小; (D )角速度不变,角加速度为零。
【提示:棒下落的过程中,越来越快,则角速度变大;力矩变小,则角加速度变小】5. 圆柱体以80rad /s 的角速度绕其轴线转动,它对该轴的转动惯量为24m kg ⋅。
由于恒力矩的作用,在10s 内它的角速度降为40rad /s 。
圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为:( )(A )80J ,80m N ⋅;(B )800J ,40m N ⋅;(C )4000J ,32m N ⋅;(D )9600J ,16m N ⋅。
【提示:损失的动能:22011960022k E J J ωω∆=-=;由于是恒力矩,可利用0t ωωα=+求得4α=-,再利用M J α=得16M N m =-⋅】6. 一匀质圆盘状飞轮质量为20kg ,半径为30cm ,当它以每分钟60转的速率旋转时,其动能为: ( )(A )22.16π J ; (B )21.8πJ ; (C )1.8J ; (D )28.1πJ 。
【圆盘转动惯量:210.92J mR ==;角速度:2260nπωπ==;动能:221 1.82k E J ωπ∆==】 4-5.假设卫星绕地球中心作椭圆运动,则在运动过程中,卫星对地球中心的( ) (A )角动量守恒,动能守恒; (B )角动量守恒,机械能守恒; (C )角动量不守恒,机械能守恒; (D )角动量不守恒,动能也不守恒。
【提示:因为万有引力是指向圆心的有心力,所以提供的力矩为零,满足角动量守恒定律;又因为万有引力是保守力,所以满足机械能守恒定律】4--1.如图所示,一均匀细杆,质量为m ,长度为l ,一端固定, 由水平位置自由下落,则在最开始时的水平位置处,其质心 的加速度为:( )(A )g ; (B )0; (C )34g ; (D )12g 。
【提示:均匀细杆质心位置在l /2处。
利用转动定律M J α=→2123l mg ml α⋅=⋅有最开始时的质心加速度:324Cl a g α=⋅=】4--2.如图所示,两个质量均为m ,半径均为R 的匀质圆盘状 滑轮的两端,用轻绳分别系着质量为m 和2m 的物体,若 系统由静止释放,则两滑轮之间绳内的张力为:( ) (A )118m g ; (B )32m g ; (C )m g ; (D )12m g 。
【提示:均匀细杆质心位置在l /2处。
利用转动定律M J α=→2123l mg ml α⋅=⋅,有最开始时的质心加速度:324Cl a g α=⋅=】4--3.一花样滑冰者,开始时两臂伸开,转动惯量为0J ,自转时,其动能为200012E J ω=,然后他将手臂收回,转动惯量减少至原来的13,此时他的角速度变为ω,动能变为E ,则有关系:( )(A )03ωω=,0E E =; (B )013ωω=,03E E =; (C)0ω=,0E E =; (D )03ωω=,03E E =。
【提示:利用角动量守恒定律有:00J J ωω=→03ωω=,则20132E J E ω==】11. 一根质量为m 、长度为L 的匀质细直棒,平放在水平桌面上。
若它与桌面间的滑动摩擦系数为μ,在t =0时,使该棒绕过其一端的竖直轴在水平桌面上旋转,其初始角速度为0ω,则棒停止转动所需时间为 ( )(A )023L g ωμ; (B )03L g ωμ; (C ) 043L g ωμ; (D ) 06L gωμ。
【提示:摩擦力产生的力矩为12Lm gxd x mgL L μμ=⎰(或考虑摩擦力集中于质心有12f M mg L μ=-⋅);取213J mL =;利用角动量定律0f M t J J ωω⋅=- →023L t g ωμ=】12. 一质量为60kg 的人站在一质量为60kg 、半径为l m 的匀质圆盘的边缘,圆盘可绕与盘面相垂直的中心竖直轴无摩擦地转动。
系统原来是静止的,后来人沿圆盘边缘走动,当人相对圆盘的走动速度为2m /s 时,圆盘角速度大小为 ( ) (A ) 1rad/s ;(B )2rad/s ; (C )23rad/s ; (D ) 43rad/s 。
【提示:匀质圆盘的转动惯量2112J mR =,人的转动惯量22J mR =;利用系统的角动量守恒定律: 1121()J J ωωω=∆-→12433ωω∆==】13. 如图所示,一根匀质细杆可绕通过其一端O 的水平轴在竖直平面内自由转动,杆长53m 。
今使杆从与竖直方向成60角由静止 释放(g 取10m /s 2),则杆的最大角速度为: ( )(A )3 rad/s ; (B )π rad/s ;(Crad/s ;(D。
【提示:棒的转动惯量取213J mL =,重力产生的力矩考虑集中于质心, 有:1sin 2M mg L θ=⋅);利用机械能守恒定律:22312Md J ππθω=⎰→232g L ω=→ 3ω=】 4-4. 对一个绕固定水平轴O 匀速转动的转盘,沿图示的同一水平直线从相反方向射入两颗质量相同、速率相等的子弹,并停留在盘中,则子弹射入后转盘的角速度应: ( )(A ) 增大; (B )减小; (C )不变;(D )无法确定。
【提示:两子弹和圆盘组成的系统在射入前后系统的角动量守恒, 但对于转盘而言两子弹射入后转盘的转动惯量变大,利用角动量 守恒定律:知转盘的角速度应减小】15.一根长为l 、质量为M 的匀质棒自由悬挂于通过其上端 的光滑水平轴上。
现有一质量为m 的子弹以水平速度0v 射向 棒的中心,并以02v 的水平速度穿出棒,此后棒的最大偏转角恰为90,则0v 的大小为 :( )(A(B(C(D )22163M glm 。
【提示:(1)应用角动量守恒定律:2200/21232/2v l l mv Ml m l ω⎛⎫⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭,可得:034mv M l ω=;(2)应用机械能守恒定律:2211232lMl Mg ω⋅=⋅,得:0v =二、填空题1.半径为 1.5r m =的飞轮,初角速度010/rad s ω=,角加速度25/rad s β=-,若初始时刻角位移为零,则在t = 时角位移再次为零,而此时边缘上点的线速度v = 。
【提示:由于角加速度是常数,可用公式2012t t θωβ=+,当0θ=时,有02t ωβ=-=4s ;再由0t ωωβ=+得:10/rad s ω=-,有v = 15/m s -】2.某电动机启动后转速随时间变化关系为0(1)te τωω-=-,则角加速度随时间的变化关系为 。
【提示:求导,有α=0te τωτ-】3.一飞轮作匀减速运动,在5s 内角速度由40πrad /s 减到10πrad /s ,则飞轮在这5s 内总共转过了 圈,飞轮再经 的时间才能停止转动。
【提示:由于是匀减速,可用公式02t ωωθ+∆=⋅,则024n t ωωθππ+∆==⋅=62.5圈;角加速度可由0tωωβ-=求得,为6βπ=-,再由 0t ωβ=+∆得:t ∆=53s 】 4--4.在质量为m 1,长为l /2的细棒与质量为m 2长为l /2的•12细棒中间,嵌有一质量为m 的小球,如图所示,则该系统 对棒的端点O 的转动惯量J = 。
【2J r dm =⎰,考虑123J J J J =++有:2/222120/2/22/2l l l m m l J r dr m r drl l ⎛⎫=⋅++⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰,求得:22212732232m m l l l J m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2123712m m m l ++】 4--5.在光滑的水平环形沟槽内,用细绳将两个质量分别为m 1和 m 2的小球系于一轻弹簧的两端,使弹簧处于压缩状态,现将绳 烧断,两球向相反方向在沟槽内运动,在两球相遇之前的过程 中系统的守恒量是: 。
【提示:水平环形沟槽光滑则不考虑摩擦力;弹簧力是系统内力所以提供的力矩为零,满足(1)角动量守恒;又因弹性力是保守力,所以满足(2)机械能守恒】4--6.如图所示,在光滑的水平桌面上有一长为l ,质量为m 的均匀细棒以与棒长方向相垂直的速度v 向前平动,与一固定 在桌子上的钉子O 相碰撞,碰撞后,细棒将绕点O 转动,则 转动的角速度ω= 。
【由角动量守恒:11224lmv J J ωω⋅=+,考虑到12ωωω==,2211344192m l ml J ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,222133934464m l ml J ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭,有ω=127v l 】 7.如图所示,圆盘质量为M 、半径为R ,对于过圆心O 点且垂直于盘面转轴的转动惯量为21MR 2。