复 习
·(
a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
数 学
新
(4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量
课 标
)
版
p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa
＋yb.
专题五 立体几何
2．两个向量的数量积
《
向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
走 向
高
向量的数量积的性质：
复 习
·(
数
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
学 新
课
a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
标 版
)
a⊥b⇔a·b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》
(3)平面的法向量
二 轮
专
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，
考 》
二
①若e是单位向量，则a·e＝|a|cos〈a，e〉；
轮 专
题
②a⊥b⇔a·b＝0；
复 习
·(
数
③|a|2＝a·a＝a2.
学 新
课
标
版
)
专题五 立体几何
向量的数量积满足如下运算律：
《
①(λa)·b＝λ(a·b)；
走 向
高
②a·b＝b·a(交换律)；
考 》
二
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
习 数
学
·(
＋yO→B＋zO→C.
新 课
标
版
)
专题五 立体几何
4．空间向量的坐标运算
《
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
走 向
高
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
考 》
二
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
轮 专 题
λa＝(λa1，λa2，λa3)；
题 复
习
·(
则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.
数 学
如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
新 课
标
版
)
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
《
走
[例1] (2011·扬州大学附中)在正方体ABCD－
向 高 考
》
A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A→1D1－A→1A)－A→B；
《 走
向
的线性运算及其表示；掌握空间向量的数量积及坐标表示，
高 考
》
能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
二 轮
专
2．理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语
题 复
习
·(
言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方 数
学
法证明有关线面关系的一些定理；能用向量方法解决线线、
新 课
线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意
义；掌握空间向量的正交分解及坐标表示；掌握空间向量
·(
)
专题五 立体几何
1．共线向量与共面向量
《
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
走 向
高
或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量．
考 》
二
(2)平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
轮 专
题
(3) 共 线 向 量 定 理 ： 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a ， b(b≠0) ，
·(
避免出现方向错误．
数
学
新 课
标
版
)
பைடு நூலகம்
专题五 立体几何
《
走
向
高
(2010·广东理，10)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c
考 》
二
＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.
轮 专
题
[答案] 2
复 习
·(
数
[解析] c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．
学 新 课
标
B→1D1≠B→D1，所以选 A.
)
版
专题五 立体几何
《
[评析] 用已知向量表示未知向量，以及进行向量表
走 向
高
达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导
考 》
是解题的关键，同时注意首尾相接的向量和向量的化简方
二 轮
专
法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，
题 复
习
)
标 版
问题中的作用．
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
1．本部分内容在高考中所占分数大约在5%－10%.
《
2．从命题形式上看，试题以多面体为载体，在直线、
走 向
高
平面、多面体的交汇处命题．分步设问：分设3小题左右，
考 》
轮 专
题
复
习
·(
数 学 新 课 标 版
)
专题五 立体几何
3．空间向量基本定理
《
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，
走 向
高
存在有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.
考 》
二
轮
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任
专 题
复
一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使 O→P ＝xO→A
诸小题之间有一定的梯度．第一小问重点考查运用空间向
二 轮
专
量讨论线线、线面、面面的位置关系，后面几问重点考查
题 复
习
·(
运用空间向量来求异面直线所成的角、二面角，证明线线 数
学
平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等立体几
新 课
何基本问题，其解题思路都是“作——证——求”，强调作图、
)
标 版
证明和计算相结合．
二 轮
专
②(B→C＋B→B1)－D→1C1；③(A→D－A→B)－2D→D1；④(B→1D1＋A→1A)
题 复 习
·(
数
＋D→D1.其中能够化简为向量B→D1的是( )
学 新
课
A．①②
B．②③
标 版
)
C．③④
D．①④
专题五 立体几何
[分析] 根据空间向量的运算法则化简即可判定．
《
走
[答案] A
向 高
专题五 立体几何
3．在新课标的试题中，为了突出对向量工具作用的考
查，试题所考查的多面体一般都是直棱柱、正棱锥，或有
《 走
向
一条棱与底面垂直的多面体或者是有一个面与底面垂直的
高 考
》
多面体，尤其是侧重对含有正方体一角的多面体考查．
二 轮
专
题
复
习
·(
数 学 新 课 标 版
)
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
考
》
[解析]
①中(A→1D1－A→1A)－A→B＝A→D1－A→B===B→D1；②中
二 轮 专
题
(B→C＋B→B1)－D→1C1＝B→C1－D→1C1＝B→D1；③中(A→D－A→B)－2D→D1
复 习
数
·(
＝B→D－2D→D1≠B→D1；④中(B→1D1＋A→1A)＋D→D1＝B→1D＋D→D1＝