证明：∵AE∥CF ∴∠AED=∠CFB， ∵DF=BE， ∴DF+EF=BE+EF， 即DE=BF， 在△ADE和△CBF中，
AE=CF ∠AED=∠CFB DE=BF ， ∴△ADE≌△CBF （SAS）．
全等三角形的判定．
4.如图，点E、F分别是AD上的两点，AB∥CD， AB=CD，AF=DE．问：线段CE、BF有什么数量关
F
E
D
A
B
C
10.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并
延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：：①
AD∥BC，②，DE=EC③∠1=∠2，④∠3=∠4，⑤
AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知，另外两个作为
结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：
（书写形式：如果……那么……）
△ABC绕点C旋转一定角度 （大于零度而小于六十度）， 以上的结论海成立吗？
∴ BE=ADБайду номын сангаас
5：如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
D
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB ∴ △EBC≌△EBD (AAS) ∴ BC=BD 在△ABC和△ABD中 AB=AB ∠1=∠2 BC=BD ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ AC=AD
证明：AF CE
AECF
又 BE∥DF 12
又 B EDF
AEB≌ CFD
AC
AB∥CD
3、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
c
D
A
B E
4.已知，△ABC和△ECD都是等边三角形，且点B，C，D在一条
系和位置关系？并加以证明．
• 证明：∵AB∥CD， • ∴∠A=∠D， • ∵在△ABF和△DCE中 • AB=CD ∠A=∠D
AF=DE ， • ∴△ABF≌△DCE， • ∴CE=BF，
∠AFB=∠DEC， • ∴CE∥BF，
即CE和BF的数量关系是 CE=BF，位置关系是
CE∥BF．全．等三角形的判定与性质；平行线的性 质；平行线的判定与性质．
AB于点E．求证：△ABC≌△MED。
证明：∵MD⊥AB， ∴∠MDE=∠C=90°， ∵ME∥BC， ∴∠B=∠MED， 在△ABC与△MED中， ∠B=∠MED ∠C=∠EDM DM=AC ， ∴△ABC≌△MED（AAS）．
全等三角形的判定．
如图，E、F是四边形ABCD的对角线BD上的两点，AE∥CF， AE=CF，BE=DF．求证：△ADE≌△CBF．
全等三角形的判定与性质．
11.在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，F为AB延 长线上一点，点E在BC上，且AE=CF． （1）求证：Rt△ABE≌Rt△CBF；
（1）证明：∵∠ABC=90°， ∴∠CBF=∠ABE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBF中， AE=CF AB=BC ， ∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL）；
直角三角形全等的判定
如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点 P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D， E，已知DC=2，求BE的长．
∵∠ABC=∠BAC=45° ∴∠ACB=90°，AC=BC ∵∠DAC+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90° ∴∠DAC=∠BCE 又∵∠ADC=∠CEB ∴△ACD≌△CEB ∴BE=CD=2．
证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC=∠ECD， 在△BAC和△ECD中 AB=EC ∠BAC=∠ECD AC=CD ， ∴△BAC≌△ECD（SAS）， ∴CB=ED．
全等三角形的判定与性质．
7.如图，D、E分别是AB、AC上的点，且 AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．
在△ABE和△ACD中， ∵ AB=AC ∠A=∠A AE=AD ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴∠B=∠C．
全等三角形
1.已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证： BC=ED．
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
即：∠EAD=∠BAC，
在△EAD和△BAC中
∠B=∠E AB=AE
∠BAC=∠EAD ，
∴△ABC≌△AED（ASA），
∴BC=ED．
全等三角形的判定与性质．
2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的 一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交
6：如图，已知，AB∥DE，AB=DE，AF=DC。请问图中有那几对全
等三角形？请任选一对给予证明。
E
答： △ABC≌△DEF
A
F
B
证明：∵ AB∥DE
∴ ∠A=∠D
C
D
∵ AF=DC ∴ AF+FC=DC+FC
∴ AC=DF
在△ABC和△DEF中
AC=DF
∠A=∠D
AB=DE
∴ △ABC≌△DEF （SAS）
又∵DE⊥AE，DF⊥AF（已知）
∴∠E＝∠F＝900（垂直的定义 ）
在△DEB和△DFC中
∵ EF(已证)
EBD＝FCD（已证）
BD＝CD（已知）
∴△DEB≌△DFC（AAS） ∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等）
2.点A、F、E、C在同一直线上，AF＝CE， BE = DF，BE∥DF，求证：AB∥CD。
5.如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC．求 证：∠DBC=∠DCB．
解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD． ∴在△ACD和△ABD中 AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD ， ∴△ACD≌△ABD， ∴BD=CD， ∴∠DBC=∠DCB．
全等三角形的判定与性质．
6.已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD ，AB=CE，AC=CD．求证：BC=ED．
（1）
；（2）
；
A
D
1
2
E
3
B
4
F
（第18题） C
11.如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900， AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F， BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平 分DE.
12.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、 AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延 长线上截取CG=AB，连结AD、AG。
全等三角形的判定与性质．
如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平 分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于
点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中 一对全等三角形给出证明．
：△BCF≌△CBD． △BHF≌△CHD． △BDA≌△CFA． 证明：在△BCF与△CBD中， ∵AB=AC． ∴∠ABC=∠ACB ∵BD、CF是角平分线． ∴∠BCF=1 2 ∠ACB，∠CBD=1 2 ∠ABC． ∴∠BCF=∠CBD， ∴ ∠BCF=∠CBD BC=BC ∠ABC=∠ACB
证明：∵AB∥DE， ∴∠B=∠DEF． ∵BE=CF， ∴BC=EF． ∵∠ACB=∠F， ∴ ∠B=∠DEF BC=EF∠ACB=∠F ， ∴△ABC≌△DEF．
全等三角形的判定；平行线的性质．
10.已知：如图，E、F在AC上，AD∥CB且AD=CB， ∠D=∠B． 求证：AE=CF．
证明：∵AD∥CB， ∴∠A=∠C， 在△ADF和△CBE中， ∠A=∠C AD=CB ∠D=∠B ， ∴△ADF≌△CBE（ASA）， ∴AF=CE， ∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF．
P27
P27
P27
练习
7：如图，已知，EG∥AF，请你从下面三个条件中，再选出两 个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。 （只写出一种情况）①AB=AC ②DE=DF ③BE=CF
已知： EG∥AF 求证：
A
E
B
G
D
C F
高
拓展题
8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF
• 求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
G F
A
E D H
B
C
13.已知：如图21，AD平分∠BAC， DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC
7.如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA， CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
C A
E B
要证明两条线段的和与一条线段 相等时常用的两种方法： D 1、可在长线段上截取与两条线段 中一条相等的一段，然后证明剩
余的线段与另一条线段相等。 （割）
2、把一个三角形移到另一位置， 使两线段补成一条线段，再证明 它与长线段相等。（补）
直线上求证：BE=AD 证明：
E
∵ △ABC和△ECD都是等边三角形
A
∴ AC=BC DC=EC ∠BCA=∠DCE=60°
∴ ∠BCA+∠ACE=∠DCE+ ∠ACE
B
D
即∠BCE=∠DCA
C
在△ACD和△BCE中
AC=BC ∠BCE=∠DCA DC=EC ∴ △ACD≌△BCE (SAS)
变式：以上条件不变，将
直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．
如图，△ABC中，AB=AC，∠1=∠2， 求证：AD平分∠BAC．