证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴OA=OC=4 OB=OD=3 A 又∵AB=5 ∴AB2=AO2+BO2 ∴∠AOB=90° ∴AC⊥BD 又∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴四边形ABCD是菱形. D O B C
归纳
菱形常用的判定方法：
1、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
证明：∵DE∥AC DF∥AB
E
3
12
∴四边形AEDF是平行四边形 ∵ DE∥AC B ∴∠2=∠3 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∴ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠3 ∴AE=DE ∴ □AEDF是菱形
F D C
探究一
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以 B、D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点 C，连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一 猜，这是什么四边形？说出你的理由
A D
在 ABCD中, AB AD ABCD是菱形.
B
C
判定方法1：
一组邻边相等的平行四边形是菱形
A D
数学语言：
B
O
C
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD ∴四边形ABCD是菱形
还有其他么方法吗?
练习：已知：如图，AD平分∠BAC， DE∥AC 交AB于E，DF∥AB交AC于F． A 求证：四边形AEDF是菱形．
（对角线互相垂直平分的四边形是菱形.） 3、有四条边相等的四边形是菱形.Biblioteka 小结：菱形的判定方法：
四条边相等
四边形 菱形
平行四边形
1.做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形． 对 (2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形． 对 (3)邻角相等的四边形是菱形．错 (4)有一组邻边相等的四边形是菱形．错 (5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 是菱形． 对 错 (6)对角线互相垂直的四边形是菱形． (7)对角线互相垂直平分的四边形是菱形。 对 (8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 对
1 1 EF GH BD，FG EH AC 2 2
H
G
C
∴EF=FG=GH=HE ∴四边形EFGH是菱形
探究二
菱形的两条对角线既互相垂直，又互相平分. 从菱形的这一性质受到启发，你能画出一个菱形 吗？
过点O画两条互相垂直的线段AC 和BD，使得OA=OC，OB=OD. 连结AB， BC，CD，DA，则四边形ABCD是菱形，如 图2-55.
菱形的判定方法3：
A D AC⊥BD B C B C A D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （对角线互相垂直平分的四边形是菱形）
□ABCD
菱形ABCD
AC⊥BD
□ABCD
四边形ABCD是菱形
练习：如图， ABCD的两条对角线AC、BD相交 于点O，AB=5，AC=8，DB=6 求证:四边形ABCD是菱形.
图2-55
你能说出这样画出的四边形ABCD一定是菱形的道理吗？
如图2-55，由画法可知，四边形ABCD 的两条对角线 AC 与BD 互相平分，因此它是平行四边形. 又已知其对角 线互相垂直，上述问题抽象出来就是： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 我们来进行证明.
由于四边形ABCD的两条对角线AC与BD 互相平分，因此它是平行四边形.
2、□ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 菱 （2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
矩 形； 矩
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是
D
形；
C
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
O A B
3、选择：
（1）.下列命题中正确的是（C ） A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形
A D B 四边形ABCD C AB=BC=CD=DA A
D
B
C
菱形ABCD
数学语言
∵在四边形ABCD中 AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形
练习：如图，顺次连接矩形ABCD各边中点， 得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱 形。 E
A D
证明：连接AC、BD F ∵四边形ABCD是矩形 B ∴AC=BD ∵点E、F、G、H为各边中点
互相平分 1、对角线_____________ 的四边形是平行四边形。
相等 2、对角线_____________ 的平行四边形是矩形。 互相垂直 3、对角线_____________ 的平行四边形是菱形。 相等且互相平分 4、对角线__________________ 的四边形是矩形。
互相垂直平分 5、对角线___________________ 的四边形是菱形。
又由于DB是线段AC的垂直平分线， 因此，DA=DC. 从而平行四边形ABCD是菱形.
图2-55
命题：对角线互相垂直的平行四边 形是菱形.
已知：在
求证： ABCD 中，AC ⊥ BD
ABCD 是菱形
A B O C D
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC
又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC ∴ ABCD是菱形
菱形的判定
想一想： 1.菱形、矩形的定义？
2.它们分别比平行四边形多了哪些性质？ 3.怎样判定一个四边形是矩形？
矩形与菱形
矩形 定义
有一角是直角的平行 四边形叫做矩形.
菱形
有一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形.
四条边都相等
平行四边形的性质 性 边 质 角 对角线 四个角都是直角 相等
有一角是直角的平行四边形 对角线相等的平行四边形 三个角都是直角的四边形
A B C O D
猜想：四条边相等的四边形是菱形。
下面我们来证明这个结论.
如图2-53，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA. ∵ AD = BC， AB = DC， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 又 AB = AD，
∴ 四边形ABCD是菱形.
图2-53
菱形的判定方法2：
四条边都相等的四边形是菱形.
互相垂直且平分每一组对角
????
判 定
学习目标：
• 1、回顾菱形的定义及性质
• 2、探索并掌握菱形的判定方法 • 3、能利用菱形的判定方法解决实际问题
想一想
我们在学习平行四边形的判定和矩形的 判定时，我们首先想到的第一种方法是什 么？那么类比着它们，菱形的第一种判定 方法是什么？ 根据定义得： 一组邻边相等的平行四边形是菱形.