第三章 正弦稳态电路的相量分析法
3.1 正弦稳态交流电路的基本概念 3.2 正弦量的相量表示 3.3 R、L、C各元件的相量模型 3.4 复阻抗、复导纳及正弦电路的相量分析法 3.5 正弦交流电路的功率 3.6 谐振电路 3.7 三相电路 3.8 互感耦合电路
3.1 正弦交流电路的基本概念
一.正弦量的三要素 1.几个概念 正弦量
正弦零值：靠近计时起点最近的，负值向正值变 化所经过的零值。
若零值在坐标原点左侧，θ >0 若零值在坐标原点右侧，θ <0
i(t)=Imsin(ω t+ θi)
i
i
Im
t
00 0 0
t
θi
波形图
θi
=ψθ0i θi
=/2
θi =-/2
一般 | θ |
二.相位差
相位差： 两个同频率正弦量的相位之差。
试用相量表示 i, u 。
解：
•
I
10030o
A
•
U 220 60o V
例.
•
已知I 5015o A, f 50Hz .
试写出电流的瞬时值表达式
解：
i 50 2sin(314t 15o ) A
2.相量图
相量图：把画在同一复平面上表示正弦量相量的
图称为相量图。
Attention: 相位的幅角应以逆时针方向的角度为
(t 1) (t 2 ) 1 2
0 表 明 1 超 前 2 角
0 表 明 1 滞 后 2 角
0 表明1与2同相
π 2
表明1与2正交
π 表 明 1 与 2反 相
i i1
i1
i
0 O
ii21ii22ψ
= +/2
i1比i1i2与超i前t2 同相
tt
i3
i1---大写
U、I
最大值---大写+下标
相量---大写+“·”
Um、Im
•
U
3.3 R、L、C各元件的相量模型
一.电阻元件电压、电流关系的相量形式
设在电阻元件的交流电路中，电压、电流参考方
向如图所示。
根据欧姆定律 u iR
i
R
u
u 2U sin(t u )
则 i u R
2U R
sin(t
正弦电压有效值
U Um 2
U 2 T T u2 dt
R
0R
正弦电流有效值
I Im 2
常用的交流仪表所指示的数字均为有效值。
⑵.周期、频率和角频率ω
周期T 正弦量完成一个循环所需的时间。 单位：s。
频率f 正弦量每秒内变化的次数，单位：Hz。 f 1 T
角频率ω 正弦量在单位时间内变化的弧度，单位rad/s
所以电压u的初相为-125°, 电流i的初相为45°。
ui u i 125 45 170 0
表明电压u滞后于电流i 170°
3.2 正弦量的相量表示
一.复数的表示形式及运算规则
1.复数
A a jb
＋j b
r A a2 b2 arctan b ( π)
a
a rcos
•
I Ii
还原时应将 时间项加上
i(t) 2I sin(t i )
有效值
初相位
•
I Ii
正弦量的相量 表示:
相量的模表示正弦量的有效值 相量的幅角表示正弦量的初相
•
u(t) 2U sin(t u ) U Uu
例. 已知 i 141.4sin(314t 30o )A u 311.1sin(314t 60o )V
（2）复数的乘除法
A B r11 r22 r1 r2(1 2 )
A B
r11 r22
r1 r2
(1 2 )
二.正弦量的相量表示 1.正弦量的相量表示形式
造一个复函数 i(t) 2I(t i ) 2I cos(t i ) j 2I sin(t i )
i(t) 2I sin(t i )
正弦量的波形图
i
Im
t
θi
相量表示
e.g.
＋
•
u
i(t) 2I sin(t i ) I Ii －
•
u(t) 2U sin(t u ) U Uu
R1 i1
i2
i3
R2
R3
相量图 相量和复数一样可以在复平面上用有向线段表示
＋j
•
U
θu
O
＋1
•
I • U
θi θu
＋1
符号说明
瞬时值---小写
b
rsin
r
θ
O
PA
a ＋1
2.复数的表示形式 (1)代数形式 (2)三角函数形式 (3)指数形式 (4)极坐标形式
A a jb A r cos jr sin
A re j
A r
3.复数的运算法则
设 A1 a1 jb1 r11 A2 a2 jb2 r22
（1）复数的加减法 A B (a1 a2 ) j(b1 b2 )
正，顺时针方向的角度为负。
＋j
e.g.
·I
•
I
10
30 5
230 A
30°
2
O
45°
＋1
•
U
220
2 45V
2
U·
注意
只有正弦量才能用相量表示； 只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上； 相量只是表示正弦量，不是等于正弦量。
Review: 正弦量的表示方法
正弦量解析式（瞬时值表达式）
e.g. 正弦电流 i(t) Im sin(t i )
正弦量的瞬时值
正弦量的波形 正弦量的解析式
直流电路 U/I
O
t
正弦交流电路波形 ui
+ O
t
正弦电压u(t)的解析式为 u(t) Um sin(t u ) 正弦电流i(t)的解析式为 i(t) Im sin(t i )
2.正弦量的三要素
振幅、角频率、初相位
⑴.振幅 Um(或 Im) 正弦量瞬时值中的最大值叫振幅，也叫峰值。 振幅规定用大写字母并加下标m表示，为正值。
u(t) Um sin(t u ) Um sin[(t T ) u ]
∴ 2 2f
T
小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
* 有线通讯频率：300 - 5000 Hz
* 无线通讯频率： 30 KHz - 3×104 MHz
⑶.初相
相位： t
初相： ，规定
u
)
2I sin(t i )
a. 频率相同 c. 有效值关系： d. 相量关系：
b. 初相相同 θu θi
U IR
•
•
UR I R
a．只有同频率的正弦信号才可以比较相位
b．超前与落后是相对的。一般限定相位差在2范
围内，取 。
例
已知 u 220 2 sin(t 235)V ,
i 10 2 sin(t 45) A
求u和i的初相及两者间的相位关系。
解
u 220 2 sin(t 235)V
220 2 sin(t 125)V