2) 对任意固定的自然数m<n,均有
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随机过程的分布
04.9.4
φ(t1, t2 , , tm ;θ1,θ2 , ,θm )
φ(t1, t2 , , tm , , tn;θ1,θ2 , ,θm ,0, ,0)
定理2.2.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理)
如果有限分布函数族
F {F(t1, t2, , tn; x1, x2,, xn ), t1, t2, , tn T , n 1}
P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tn ) xn}
称为过程的n 维分布函数.
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记 F ˆ {F (t1 , t2 , , tn; x1 , x2 ,, xn ) :
ti T , xi Ri , i 1,2, , n, n 1}
x1 π
1 da, a2 x2
x 1;

0
其它 .
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1
ln(
1

1 x2 ),
π
x
0，
其 它.
x 1;
思考题：
为什么可以用有限维分布函数族描述 随机过程的统计特性?
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X(t) － 2cost 2cost
p
1/3
2/3
特别
X(0) － 2 2
p 1/3 2/3
p X( 4 ) 2 2
p1/3 2/3来自电子科技大学2) 分析
随机过程的分布
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2
2
x(t,ω1)=2cost
2 x(t,ω2)=－2cost
-2
有 (X(0), X(p/4)) (2, 2) (2, 2)
称F为XT 的有限维分布函数族.
XT的任意有 限维分布函
数的全体构
成的集合
定义2.2.3 过程 { X (t),的t nT维} 特征函数定义为
φ(t1 , t2 , , tn;θ1 , θ2 , , θn )
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E{e } j[θ1 X (t1 ) θn X (tn )]
满足相容性和对称性,则存在一个概率空间上
的一个随机过程 XT X (t以), tF为T有限维分布
函数族, 即
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F (t1, t2 , , tn; x1, x2 ,, xn )
P{ X (t1 ) x1, , X (tn ) xn }.
Ex1.设随机过程 X (t,), t R只有两条样本

F
(
t1
,
t
2
,

, tn; x1,, xm ,
xn )
注 联合分布函数能完全确定边缘分布函数.
类似地,随机过程的有限维特征函数满足:
1) 对1,2,…,n的任一排列j1 , j2 , …, jn 有
φ(t j1 , , t jn ;θ j1 , ,θ jn ) φ(t1, t2 , , tn;θ1,θ2 , ,θn )
随机过程的分布
04.9.4
需研究随机过程与有限维分布函数的关系.
随机过程的有限维分布函数有以下性质:
1) 对称性:对1, 2, …, n的任一排列j1 , j2 , … , jn ,均有
F (t j1 , , t jn ; x j1 , , x jn ) F (t1, t2 , , tn; x1, x2 ,, xn )
注 因事件乘积满足交换律.
2) 相容性:对任意固定的自然数m<n,均有
F t1 , t2 , , tm ; x1 , x2 ,, xm
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F (t1, t2 , , tm , , tn; x1, x2 ,, xm , )

lim
xm1 , , xn
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t R,
其中ω是正常数, 随机变量A 与Θ相互独立, A～U(0,1), Θ～U(-p, p), 试求过程的一维概率 密度.
解 1) 首先设 Y (t ) acos(t )
其中a 是常数,易求得Y(t)的一维概率密度为

fY
(
y)


π
1, a2 y2
y a;
0,
其它.
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2) 因 Y (t ) X (t A a) ,有 fX A( x a) fY ( x)
用连续型全概率公式
f
X
(
x; t )



fX
A(x
a )dFA (a )



f
X
A(
x
a)
f
A (a)da

1
0
f
X
A(x
a)da
6
6
当T/6≤t<5T/6,
P{Y (t,) A} P{t T X t} 1;
6
5
当5T/6≤t<T,
P{Y (t,) A} P{t T X 5T } 6 (T t). 电子6科技大学 6 5T
随机过程的分布
Ex.3 设随机过程
X (t ) Acos(t ),
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§2.2 随机过程的分布
一、分布函数
定义2.2.1 随机过程 XT X，(t)对, t T
t T , 随机变量X(t)的分布函数
F(t; x) A PX(t) x, x R,
称为过程XT 的一维分布函数. 注 一维分布函数描述了随机过程在各个孤
立时间点处的统计特性, 未给出过程的整体
p
1/3
2/3
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服从二维两点分布，余自解.
问题 随机变量X(0)和X(p/4)是否相互独立?
Ex. 2 (脉冲位置调制信号)
P10例14
1)每隔T秒输出宽度为T/6,幅度为A的脉冲;
2)各脉冲开始时间为Xj , j=1,2, …, n,相互独立. 3) Xj～U(0,5/6T).
函数
X (t,1 ) 2cos t, X (t,2 ) 2cos t, t R
且
P {ω1 }

2 3
,
P{ω2 }

1 3
求 1) 一维分布函数F(0; x) 和 F(p/4; x);
2) 二维分布函数F(0, p/4; x, y).
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解 1) 对任意实数t∈R,有
解 Xj 的概率密度为
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f
X
(
x)

6 5T
,
0,
0 x 5T; 6
其它.
A
0t
T
T
6
当0≤t<T/6, P{Y (t, ) A} P{0 X t} 6t ;
5T
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0
t－T/6
t
tT
T
5T
统计特性.
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定义2.2.2 随机过程 { X (t),对t 任T给} 的
t1 , t2 , , tn T , 随机向量
X (t1 ), X (t2 ), , X (tn )
的联合分布函数
F (t1, t2 ,L , tn; x1, x2 ,L , xn ) A
称 {φ(t1 , t2 , , tn;θ 1 ,θ 2 , ,θ n ) :
t1 , t2 , , tn T , n 1}
为XT 的有限维特征函数族.
特征函数和分布函数是相互唯一确定.
2. 随机过程存在定理
随机过程的n维分布函数能近似地描述 过程的统计特性, n越大则描述越趋于完善.
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