一、逻辑斯蒂方程建立的过程及背景
在自然界和社会上存在大量的 s型变化的现象, 逻辑斯蒂Logistic模型几乎是描述 s型增长的唯一数学模型.这是一条连
续的、单调递增的、以参数 k为上渐近线的 s型曲线, 其变化
速度一开始增长较慢, 中间段增长速度加快, 以后增长速度下
降并且趋于稳定. 利用它可以表征种群的数量动态, 描述某一
研究对象的增长过程, 也可作为其它复杂模型的理论基础如
Lotka- Volterra两种群竞争模型. 可以看出逻辑斯蒂方程不管
在自然科学领域还是在社会科学中都具有非常广泛的用途.
1逻辑斯蒂模型的产生与发展
在提出逻辑斯蒂模型之前, 最早给出种群生态学经典数学模型
是 M althus模型, 由英国统计学家 M althus( 1766- 1834)在
1798年人口原理!一书中, 提出了闻名于世的 M althus人口模
型. 设 t0时刻的人口总数为 N ( t0), t时刻人口总数为 N( t),
则:
dN/dt=rN
N(t0)=N0 但是这个模型有很大的局限性: 只考虑出生率和死亡率, 而没
有考虑环境因素. 实际上人类所生存的环境中资源并不是无限
的, 因而人口的增长也不可能是无限的, 实践证明 M althus人
口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数. 比利
时数学家Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一
假设修改为
dNdt=rN-KN^2
N(t0)=N0 其中 r,K称为生命系数(VitalCoefficients). (2)式就
是最早的逻辑斯蒂模型.
解之得:
N(t) =1/(K/r+(1/N0-K/r)exp(-rt)
二、逻辑斯蒂方程在MATLAB中的实现
function f = curvefun1(x,t)
syms x t;
k=9000;
b=100;
r=0.03;
t=linspace(0,400,100)
x=k./(1+(k./b-1)*exp(-r*t));
plot(t,x,'b')
grid on
%% k为方程的渐近线
%% k/2为方程的拐点
%% 增长速率为0.03
%% 开始时的值为100
三、逻辑斯蒂方程在生物学中的应用
2逻辑斯蒂模型的生态意义
在种群生态学中, 种群的增长是一个复杂的问题。

由于种群的增
长受到诸多因素的影响, 如环境条件、营养状态、出生率、死亡率、个体基数及世代特征等. 1838年, 数学家 Verhulst又把模型改进到有限环境中, 导出新的方程. Verhulst称之为逻辑斯蒂方程, 为拉丁文 Logistic的音译. 它有某种逻辑推理的含义, 是一个说理模型. 模型中各参数的生态意义: K为环境容纳量, 它表示每个个体在没有受到抑制作用时的最大增长率, N为当时种群的数量.Verhulst假设种群规律的相对增长率为:
dN/dt= r(1-N/K)N
N(t0) =N0
利用一阶微分方程的分离变量法, 求出其解为
N(t) =K/(1+ (KN0- 1)exp(-rt))
逻辑斯蒂方程也可作如下解释: 由于资源最多仅能维持 K 个个体, 故每个个体平均所需要的资源为总资源的1/K.在时刻 N(t)个个体共消耗了总资源的 N(t)/K,此时剩余1-N(t)/K.因此逻辑斯蒂方程反映了种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比.这种种群密度对种群规模增长的抑制作用,显然,当不考虑密度制约因素时,逻辑斯蒂方程就变成了Malthus方程.分析可知
根据微积分!中∃函数单调性及凹凸性的判定定理%, 可以描绘出逻辑斯蒂方程的积分曲线. 如图2所示.图2
图2中,N=K下方的s型曲线称为逻辑斯蒂曲线, 因为它能近似地表示生物种群的生长过程, 所以常常作为这方面理论探讨的基础, 由此发展了高等植物生长的逻辑斯谛曲线理论, 同时也可
进行与生长有关的各因素分析.逻辑斯蒂曲线将生物种群变化划分为 5个时期:
(1)开始期, 也称潜伏期, 种群个体数很少, 密度增长缓慢.
(2)加速期, 随个体数增加, 密度增长逐渐加快.
(3)转折期, 当个体数达到饱和密度一半 (即 K /2), 密度增长最快.
(4)减速期,个体数超过K/2以后, 密度增长渐变慢.
(5)饱和期, 种群个数达到极限 K而饱和.。