第1讲角平分线1. 角平分线的性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理的数学表示:如图,已知0E是/ AOB的平分线,F是0E上一点,若CF点C, DF OB 于点D,则CF = DF.逆定理:到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上角平分线除了简单的平分角以外,结合其它的条件,一般可产生以下三种常见模型! 模型讲解模型1-BD平分/ ABC,且DC BC理由:角平分线的性质结论:△ DCB2 △ DEB模型 2 一BD 平分/ ABC, 且CD BD理由:等腰三角形三线合一结论:△ BDC BDE模型3-BD 平分/ ABC, AD// BC理由:平行线的性质结论:△ ABD为等腰三角形OA于【例题讲解】例题1、如图所示,在四边形ABCD 中,DC// AB,/ DAB =90 °, AC BC, AC=BC,BF/ ABC的平分线交AD , AC于点E、F,贝U BS的值是EFBFEF值得一试.【解答】解:如图,作FG AB于点GQAC BC,/ ACB =90°又QBF 平分/ ABC,FG = FC 在Rt A BGF 和Rt A BCF 中BF BFAC =16,贝U DE的长度为_________【分析】有AE平分/ BAC,且AE EC,套用模型2,即可解决该题△ BGF BCF ( HL) ,BC = BGQ AC=:BC,/ CBA =45°,AB = 2 BCBF BG BC BC1 . 2 .EF AG AB BG.2BC BC、2 ICF GF例题2、如图,D是厶ABC的BC边的中点,当过点F作FG AB时,即可将转化为竺,又会出现模型EF AG1,所以这个辅助线与思路Q / DAB-90°,FG/AD,BFEFBGAGAE 平分/ BAC,AE CE 于点E,且AB =10,【分析】要求B匚的值,一般来说不会直接把EFBF和EF都求出来,所以需要转化【解答】解:如图,延长CE, AB交于点F.QAE 平分/ BAC, AE EC/ FAE = / CAE ,Z AEF = / AEC =90°在厶AFE和厶ACE中/ EAF / EACAE AE/ AEF / AEC△ AFE 也ACE (ASA)AF = AC = 16, EF = EC,BF = 6又QD是BC的中点,BD =CDDE是厶CBF的中位线1DE = — BF =32故答案为:3.例题3、如图所示,在△ ABC中,BC =6,E、F分别是AB、AC的中点,动点P在射1线EF 上, BP交CE于D,/ CBP的平分线交CE于Q,当CQ =- CE时,EP+BP= .3 -------------【分析】这里出现角平分线,又有平行,应该想到模型3,即可构造出等腰三角形,结合相似模型,即可解出答案.【解答】解:如图,延长BQ交射线EF于点M.QE、F分别是AB、AC的中点,EF// BC/ CBM = / EMBQ BM 平分/ ABC , / ABM = / CBM/ EMB = / EBM , EB = EMEP +BP = EP +PM =EM1QCQ = CE, EQ =2CQ3由EF// BC 得,△ EMQ CBQEM EQ2 EM 2BC 12 EP BP 12BC CQ(第 5 题)(第 7 题)【巩固练习】1、如图,/ AOB 是一个任意角,在边 OA , OB 上分别取OM =ON ,移动角尺,使角尺 两边相同的刻度分别与 M , N 重合,过角尺顶点 C 的射线OC 便是/ AOB 的平分线OC ,做 法用得到三角形全等的判定定方法是() A. SASB.SSSC.ASAD.HL2、三角形中到三边距离相等的点是( A 、三条边的垂直平分线的交点 C 、三条中线的交点3、如图,四边形 ABCD 是平行四边形,BE 平分/ ABC , CF 平分/ BCD , BE 、CF 交于 1G.若使EF = AD ,那么平行四边形 ABCD 应满足的条件是()4A. /ABC =60°B. AB : BC = 1 : 4C. AB : BC = 5: 2D. AB : BC = 5: 84、 如图,△ ABC 的周长为26,点D , E 都在边BC 上,/ ABC 的平分线垂直于 AE ,垂 足为Q ,/ ACB 的平分线垂直于 AD ,垂足为P ,若BC = 10,则PQ 的长为()3 5 A 3B. -C.3D. 4'225、 如图,在△ ABC 中,/ C =90°, AC =BC , AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D , DE AB 于点丘,若厶BDE 的周长是5cm ,则AB 的长为_. ________(第 1 题)(第 3 题)(第 4 题))B 、三条高的交点D 、三条角平分线的交点(第 6题)6、如图,已知 OB 、OCABC 的角平分线,DE // BC 交AB 、AC 于D 、E ,A ADE的周长为15, BC 长为7,则厶ABC 的周长为 _. _______7、 如图,在△ ABC 中,点 D 在BC 上, BM 平分/ ABD , BM AD , N 是AC 的中点, 连接 MN ,若 AB = 5, BC = 8,贝MN =.8、 如图,△ ABC 中,AD 是中线,AE 是角平分线,CF AE 于F , AB =5, AC = 2,则 DF 的长为 .9、 如图,已知/ BAC 的平分线与BC 的垂直平分线相交于点 D , DE AB , DF AC , 垂足分别为 E 、F , AB =6, AC = 3,贝U BE =.10、 如图所示,在四边形 ABCD 中,AD/ // BC , CE 是/ BCD 的平分线,且 CE AB , E 为垂足,BE =2AE ,若四边形AECD 的面积为1,则四边形 ABCD 的面积为 _.11、 如图,在 e O 的内接四边形 ABCD 中,AB =3, AD =5,/ BAD =60°,点 C 为弧 BD 的中点,贝U AC 的长是——(第11题)(第12题)12、已知:如图, AD 、BE 分别是△ ABC 的中线和角平分线, AD BE , AD = BE = 6, 则AC 的长等于—.13、将弧BC 沿弦BC 折叠,交直径 AB 于点D ,若AD =8, DB =10,则BC 的长是14、如图,F , G 是OA 上两点,M , N 是OB 上两点,且 FG = MN , S/FG =&PMN ,试 问点P 是否在/ AOB 的平分线上?A(第 8题) (第 9题)(第 10 题)(第13题)15、已知:在厶ABC中,/ B的平分线和外角/ ACE的平分线相交于D,DG// BC,交AC 于F,交AB 于G,求证:GF = BG CF.16、在四边形ABCD中,/ ABC是钝角,/ ABC+Z ADC =180°,对角线AC平分/ BAD.(1)求证:BC = CD ;(2 )若AB +AD = AC,求Z BCD 的度数;17、如图,在△ ABC中,D、E、F分别为三边的中点,G点在边AB上,△ BDG与四边形ACDG的周长相等,设BC = a、AC = b、AB =c.(1)求线段BG的长;(2)求证:DG平分Z EDF.A18、如图,BA MN,垂足为A, BA = 4,点P是射线AN上的一个动点(点P与点A 不重合),/ BPC = / BPA, BC BP,过点C作CD MN,垂足为D,设AP =x. CD的长度是否随着x的变化而变化?若变化,请用含x的代数式表示CD的长度;若不变化,请求出线段CD的长度.19、已知:平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点分别为0 (0, 0)、A (5, 0)、B(m, 2)、C ( m- 5, 2)(1) 问:是否存在这样的 m ,使得在边BC 上总存在点P ,使/ OPA = 90°?若存在, 求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由(2) 当/ AOC 与/ OAB 的平分线的交点 Q 在边BC 上时,求 m 的值.20、我们把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“准等腰梯 形”。
如图1,四边形ABCD 即为“准等腰梯形”。
其中/ B=/ C o(1)在图1所示的“准等腰梯形” ABCD 中,选择合适的一个顶点引一条直线将四边形ABCD 分割成一个等腰梯形和一个三角形或分割成一个等腰三角形和一个梯形(画出一 “准等腰梯形” ABCD 中/B=/ C , E 为边BC 上一点,若 AB// DE , BE EC ;(3) 在由不平行于 BC 的直线 AD 截厶PBC 所得的四边形 ABCD 中,/ BAD 与/ ADC 的平分线交于点 E o 若EB=EC ,请问当点E 在四边形ABCD 内部时(即图3所示情形), 四边形ABCD 是不是“准等腰梯形”,为什么?若点E 不在四边形 ABCD 内部时,情况又将如何?写出你的结论。
(不必说明理由)参考答案1. 答案 B2. 答案 D3. 答案 D4. 答案 C种示意图即可);(2)如图2,在 AE/ DC ,求证:如DC5. 答案 5 cm6. 答案 227. 答案 1.58. 答案 1.59. 答案 1.515 10. 答案” , 7 11. 答案 8丽39丽12. 答案213.答案 6疗14•解:过点P 分别向OA 、OB 作垂线,11S APFG =—PG PE ,S/MN = —MN PH ,FG = MN2 2 PH=PE点P 在Z AOB 的平分线上.15.证明: B D 平分Z ABC , Z 1 =Z 2, DF// BC , Z 2 = Z 3,Z 1=Z 3, BF=DF.同理:DE = CE. EF =DF DF, EF =BF CE.16•解:(1)如图,过点C 作CM 丄AB ,交AB 的延长线于点 M;作CN 丄AD ,垂足为N ,AC 平分Z DAB , CM = CN又 Z ABC +Z ADC = 180°,Z MBC +Z ADC = 180°Z NDC = Z MBC ,在△ NDC 与厶 MBC 中 Z DNC = Z BM C , Z NDC = Z M BCCN = CMBC=DC(2)如图,延长AB 到B ,使BB = AD AB+AD = AC ,「. AB = AC由(1)知Z ADC = Z BBC;在厶ADC 与厶BBC 中DC= BCZ ADC =Z EBCAD BE•••△ ADC BA EBC ,故 AD = EC• DE =,D E 2 DG 2=1.5又 AE = AC ,A AE = AC = EC故厶ABC 为等边三角形,•••/ CAB = 60°;•••/ BAD = 120°,/ BCD = 360° -180° - 120° = 60° 即/ BCD = 60 °17•解:(1) △ BDG 与四边形ACDG 的周长相等, • BD+BG+DG = AC+CD+DG +AG D 是BC 的中点 • BD = CD • . BG =AC +AGBG +(AC +AG)= AB +AC, 1 1• BG = ( AB +AC)= (b+c)2 2 (2)证明:点D. F 分别是BC 、AB 的中点 1 1 1 1--DF= AC= — b , BF= — AB= — c2 2 2 2又 FG = BG1 BF = (b+c)- 1 1 c = b2 2 2• DF=FG• / FDG = / FGD点D. E 分别是BC 、 AC 的中点,• DB // AB ,•/ EDG = / FGD ,•/ FDG =/ BDG,即 DG 平分/ EDF 18.解:CD 的长度不变 理由如下:如图,延长 CB 和PA ,记交点为点 Q / BPC =/ BPA , BC 丄 BP• QB = BC(等腰三角形“三合一"的性质 ) BA 丄 MN , CD 丄 MM • AB // CD , • △ QABQDCAB/ CD=QB/ QC=1/ 2 • CD = 2AB = 2X 4= 8 即 CD = 8;O(0, 0)、A(5, 0)、B(m , 2)、C(m-5, 2). • OA = BC = 5, BC // OA ,以OA 为直径作D ,与直线BC 分別交于点E. F 则/ OEA =/ OFA = 90°,如图 1作 DG 丄 EF 于 G ,连 DB ,贝 U DB = OD = 2. 5, DG = 2 , EG=GF19.解:(1)存在.(2) QABPDE , B DEC ;QAEPDC , AEBB DEC AB AE .Q在厶ABE和厶DEC中,AEB C AB BEDC EC . ABE ~ DEC/ BFE = / CHE = 90°AEB ;BEECAEDC,••• E(1,2), F(4,2),m 5 4•••当,即1< mW 9时,边BC上总存在这样的点P,使/ OPA= 90°;m 1BC= OA = 5, BC // OA•••四边形OABC是平行四边形• OC // AB,•••/ AOC +/OAB = 180°,OQ 平分/ AOC, AQ 平分/ OAB,•••/ AOQ= 0. 5/ AOC,/ OAQ = 0. 5/ OAB ,•••/ AOQ +/ OAQ = 90°:丄 AQO= 90 ° ,以OA为直径作D,与直线BC分別交于点E. F ,则/ OEA =/ OFA = 90°,•••点Q只能是点E或点F,当Q在F点时,OF、AF分别是/ AOC与OAB的平分线,BC // OA•••/ CFO = / FOA = / FOC , / BFA = / FAO =/ FAB ,• CF = OC, BF = AB 而OC = AB,• CF = BF,即F是BC的中点。