备用试题
武汉大学数学与统计学院2003-2004学年第1学期
《线性代数》试题 (工科54学时)
姓名 学号 班号 专业 成绩 说明：一共九道题目，第一至第四题每题10分，第五至第九题每题12分。

一、计算n 阶行列式D = 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1 a a a a
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⋅⋅⋅ 的值 。

二、若矩阵A 和B 满足关系：2242A B A B A =+-。

其中A ＝ 12
3012001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
－－－，求矩阵B 。

三、给定矩阵A ＝ ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------11011111100222021110，求()R A 。

四、已知1(1 0 2 3)α=，
，，，2(1 1 3 5)α=，，，，3(1 1 2 1)a α=+，－，，，4(1 2 4 8)a α=+，，，， 且(1 1 +3 5)b β=，，，，
1） a b ，
为何值时，β不能表示成1α，2α，3α，4α的线性组合？ 2）、 a b ，
为何值时，β有1α，2α，3α，4α的唯一线性表达式？并写出该表达式。

五、若A ，B 是同阶可逆矩阵，请证明()AB B A ***=，其中A *是A 的伴随矩阵，()A B *和B *具同样意义。

六、求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++43322
321
321321x x x x x x x x x 的通解。

七、已知1，1，－1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量T 1(1, 1, 1)α＝，T 2(2, 2, 1)α＝是A 的
对应于121λλ＝＝的特征向量，
1) 能否求得A 的属于31λ＝－的特征向量？若能，请求出该特征向量，若不能，也请说明理由。

2) 能否由此求得实对称阵A ？若能则请求之，若不能则请说明理由。

八、设222
(,,)2422f x y z x y z axy yz =++++为正定二次型，试确定实数a 的最大取值范围。

九、给定3R 的基⎪⎩⎪⎨⎧===.)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321ξξξ 和 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=).1,1,2(,)1,2,2(,)1,2,1(321ηηη若定义线性变换)3,2,1(,)(==T i i i ηξ,
试求：
1）求由基321,,ξξξ到基321,,ηηη的过渡矩阵X ；
2）求T 关于基321,,ηηη的变换矩阵A 。