第5炼 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 轴对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等3、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。
然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数()f x C =5、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =-（2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a =分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：()()2f x a f x a +=-+ 所以有：()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=，即周期2T a =注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = 分析：()()()()1121f x a f x f x a f x +===+ （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =分析：()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=，两式相减可得：()()2f x a f x +=（5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =（6）双对称出周期：若一个函数()f x 存在两个对称关系，则()f x 是一个周期函数，具体情况如下：（假设b a >）① 若()f x 的图像关于,x a x b ==轴对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- 分析：()f x 关于x a =轴对称()()2f x f a x ⇒-=+()f x 关于x b =轴对称()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+ ()f x ∴的周期为()222T b a b a =-=-② 若()f x 的图像关于()(),0,,0a b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- ③ 若()f x 的图像关于x a =轴对称，且关于(),0b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔()kT k Z ∈的函数图象相同，所以若()f x 在()(),a b b a T -≤上单调增（减），则()f x 在()(),a kT b kT k Z ++∈上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为T 的函数()f x 存在一条对称轴x a = （或对称中心），则()f x 存在无数条对称轴，其通式为()2kT x a k Z =+∈ 证明：()f x 关于x a =轴对称 ()()2f x f a x ∴=-函数()f x 的周期为T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=- ()f x ∴关于2kT x a =+轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例1：设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________思路：由(2)()f x f x +=-可得：()f x 的周期4T =，∴考虑将(7.5)f 用01x ≤≤中的函数值进行表示：()()(7.5) 3.50.5f f f ==-，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：()()10.50.52f f -=-=-，所以1(7.5)2f =- 答案：1(7.5)2f =- 例2：定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()3212x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 14 B. 18 C. 12- D. 14- 思路：由()()()()12222f x f x f x f x +=⇒=+，可类比函数的周期性，所以考虑将52x =-向[)0,2x ∈进行转化：33225111311122242424f f f -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-==⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案：D小炼有话说：()f x 虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。
所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。
例3：定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35思路：由()()()121f x f x f x -+=+及所求()2010f 可联想到周期性，所以考虑()()()()()()()()11121411211f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++===-++++，所以()f x 是周期为4的周期函数，故()()20164f f =，而由已知可得()()()1234125f f f -==+，所以()320165f = 答案：D 例4（2009山东）：定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()2009f 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2思路：所给()f x 的特点为0x <才有解析式能够求值，而0x >只能通过()()()12f x f x f x =---减少自变量的取值，由所求()2009f 可联想到判断()f x 是否具有周期性，0x >时，()()()12f x f x f x =---，则有()()()123f x f x f x -=---，两式相加可得：()()3f x f x =--，则()()()36f x f x f x =--=-，即()f x 在0x >时周期是6，故()()()200952f f f ==-，而()()()()()()()21001011f f f f f f f =-=---=-=答案：C小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而2009x =数较大，所以考虑判断函数周期性。