期中考复习第一章集合与函数概念（10，11班）一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(P1,1)(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}（解题时，最后注意检验是否满足互异性）研究p3,7、8;(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

◆注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R2，集合的表示法（研究P2，8；）1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：M={y|y=x2-2x+1,x∈R}M={x|y=x2-2x+1,x∈R}(注意代表元素！)(P5,2)3）Venn图:（研究P5，4/7/9）4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝（研究P3，2）二、集合间的基本关系（切记，有包含关系要优先考虑空集）(P3、10)1.“包含”关系—子集（最高次项前面有参数时，要讨论它与0的关系）BA⊆2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或B A)③如果 A⊆B, B⊆C ,那么 A⊆C④如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算（ p3,6;P4，4/7/10,P5，10;P6,5/8）运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的B（读作‘A交B’），即B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集B（读作‘A并B’），即AB ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一记作ACS，即C S A=},|{AxSxx∉∈且韦恩图示A B图1A B图2性质A A=AA Φ=ΦA B=B AA B⊆AA B⊆BA A=AA Φ=AA B=B AA B⊇ＡA B⊇B(C u A) (C u B)= C u (A B)(C u A) (C u B)= C u(A B)A (C u A)=UA (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a，b，c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x∈R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .4.设集合A=}{12x x<<，B=}{x x a<，若A⊆B，则a的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值(注意：解不等式时，乘以除以一个数时，注意讨论它的符号，如果是负数，记住变号。

)二、函数的有关概念定义(P9，1/;P10，1)1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

（1）具体函数的定义域时列不等式组的主要依据是(P30,9;P37,2/4)(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组SA(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.抽象函数定义域：(P9,6;P21,5;)◆相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；◆②定义域一致(P9，3时具备) 2．值域 : 先考虑其定义域(P9，7/8;P10，10/6;P14，6)(1)观察法（遇见上下都有x，优先分离常数）(2)配方法(3)代换法2、函数的解析表达式(P10，9、4)求函数的解析法1)凑配法已知x2f(x)2)待定系数法f(x)满足f(f(x))＝4x－1，求f(x)3)换元法已知2)＝x＋）4)消参法（函数方程法）3. 函数图象知识归纳A、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换（P10，2）4．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间5．映射（箭射靶，且箭要全射出去）定义：(P11，1/3/5/6/7/9/10) 对于映射f：A→B来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

一一映射：一对一，且集合B当中没有多余的元素（P11，8）6.分段函数（一般画图处理题目）（P11，9;P12，7;P24，10)(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

(2)各部分的自变量的取值情况．(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．注意：分段函数单调性，除了保证每一段的单调性，还要保证最值之间的关系，即整体的单调性。

（补充：复合函数如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。

二．函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(P12，1/2;P14，2/3) （1）增函数函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：（P14，9/8;P15，9;P30,10）○1任取x1，x2∈D，且x1<x2；○2作差f(x1)－f(x2)；○3变形（通常是因式分解和配方）；○4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；○5下结论（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．(B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性(P14，4;p31,9;P39,8)复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.（D）利用已知函数的单调性。

（一次函数，二次函数，反比例函数，双勾函数，对数函数，指数函数）(P12，3/4/5/6;P14，1/5)注：增+增=增；减加减=减（P13，3/4）8．函数的奇偶性（整体性质）（1）偶函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．（2）．奇函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．（3）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．（图像法）利用定义判断函数奇偶性的步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(注意：（1）函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对奇*奇=偶，偶*偶=偶，奇*偶=奇（2）奇函数在对称区间单调性相同，如果x=0有意义，注意利用f(0)=0解题；偶函数在对称区间单调性相反。

9.抽象函数的单调性和奇偶性(P14，9;P15，10;P24，11，12;P23，9/6)10．函数最大（小）值○1利用二次函数的性质求函数的最大（小）值(P16，9/2/5/8;P17，8）先画图，画出对称轴，移动区间对于开口向下的情况，讨论类似。

其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：（1）若[]n m a b,2∈-，则()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,max max ，()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛-=n f a b f m f x f ,2,min min；（2）若[]n m ab,2∉-，则()()(){}n f m f x f ,m ax max =，()()(){}n f m f x f ,m in min = 另外，当二次函数开口向上时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数开口向下时，自变量的取值离开x轴越远，则对应的函数值越小。

○2 利用图象求函数的最大（小）值(P22，5;) ○3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，在区间[b ，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)； 如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)； 11:恒成立问题转化为最值问题，（一般求什么，就把它放到一边。

）(p24,9;P17,8;P37,6/7/10；p44,6;p45,4;) 例题： 1.求下列函数的定义域： ⑴y ⑵y =2.设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _3.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是4.函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =5.求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ (3)y x =y 6.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式 7.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。