空心圆截面 令内外径比为 =d/D，则有：
D
d
I p d / 2 2 d 4 D 4 (1 ) 32
D/2 2
D3 WP (1 4 )
16
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
3）作出扭矩图如图。
1.8kNm
第六章 圆轴的扭转
扭矩图的简捷画法
在外力偶矩作用处的截面上，扭矩发生突变，突变 量等于外力偶矩的数值。利用这一突变特性，可较 快地画出扭矩图。 当轴上有多个外力偶矩作用时，愈显示出这种方法 的快捷简便。
第六章 圆轴的扭转
第三节 圆轴扭转时的应力
一、变形的几何关系 试验观测：取一易变形的 圆形截面直杆，在此圆轴 的表面各画几条相平行的 圆周线和纵向线；在轴的 两端施加一对力偶矩 M 使 其产生扭转变形。 观测结果： 1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线的间距 保持不变，仅绕轴线作相对转动。 2）纵向线均倾斜了一个角度。
（a）
（b）
第六章 圆轴的扭转 三、扭矩图 扭矩图：为了直观地表示沿轴线各横截面上扭矩的 变化规律，取平行于轴线的横坐标表示横截面的位 置，用纵坐标表示扭矩的代数值，画出各截面扭矩 的变化图。 当轴上同时有几个外力偶矩作用时，一般而言，各 段截面上的扭矩是不同的，必须用截面法分段求出。 截面法求扭矩 的一般步骤 假截留半； 内力代换； 内外平衡。
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
2
第六章 圆轴的扭转
d 2 T G d A dx A
极惯性矩
I P A dA
2
物理关系式 d 则得： T GIP dx 比较
d G dx
T IP
M 7030 P n
第六章 圆轴的扭转
第二节
扭矩和扭矩图
一、扭矩 扭矩：如图所示为一根 圆轴在一对大小相等、 转向相反的外力偶矩作 用下产生扭转变形，其 力偶矩称为扭矩。 取左分析：
左
M ix 0i 1nFra bibliotekT M 0
T M
右
得
T M
同理取右段分析可得：
第六章 圆轴的扭转 二、符号规定 右手螺旋法则：用右手四指表示扭矩的转向，若拇 指的指向离开截面时，规定扭矩为正，如图a所示； 若拇指指向截面时，则扭矩为负，如图b所示。
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G

dA
R
d G G dx

dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
切应力最大值： 令 WP
等直圆轴扭转时横截面上 任一点处切应力的计算公式
max
TR IP
max
I P / R 称为抗扭截面系数
T WP
第六章 圆轴的扭转
圆柱的极惯性矩
实心圆截面
2
O
d 2 0 2

I P A dA 2 d 3 d 4 D WP 32 16
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
d d 2 dA G dA T A dA A G A dx dx
K
A A'
L
B B'
d/dx=/R，所以在同一横截面上d/dx是一个常数， 因此各点的切应变与该点到圆心的距离 成正比。
第六章 圆轴的扭转 二、应力应变关系 剪切胡克定律 各点的切应力
G

dA
R
d G G dx

dA
三、静力学关系 取dA为距截面中心 处的微面积，则dA为作 用在微面积上的力dA对截面中心之距，整个横截面 上这些力矩的合成结果应等于扭矩T： 横截面积
第六章 圆轴的扭转
例6-1 求如图所示传动轴1-1截面和2-2截面的扭矩， 并画扭矩图。
解：用截面法求扭矩
1）取1-1截面左侧
T11 M 1.8kN m
2）取2-2截面右侧
=1.8kNm 1 1
=3kNm 2 2
=1.2kNm
1.2kNm
T2 2 M C 1.2kN m
第六章 圆轴的扭转
第一节 外力偶矩的计算
一、扭转的概念和实例
扭转：是杆的又一种基本变形 形式。其受力特点是：构件两 端受到两个作用面与杆的轴线 垂直的、大小相等的、转向相 反的力偶矩作用，使杆件的横 截面绕轴线发生相对转动。 扭转角：任意两横截面间的相 对角位移。
A
BO
A


BO
M
M
轴：工程中以扭转为主要变形的构件。如钻探机的 钻杆，电动机的主轴及机器的传动轴等。
第六章 圆轴的扭转 平面截面假设：圆轴扭转变形后，横截面仍保持为 平面，且其形状大小不变，横截面上的半径仍保持 为直线，即横截面刚性地绕轴线作相对转动。
圆轴扭转时横截面上 的应力关系
AA Rd tan KA dx BB d tan LB dx
第六章 圆轴的扭转
第六章 圆轴的扭转 二、外力偶矩的计算
P M 9550 n
M — 作用在轴上的外力偶矩，单位为牛顿· 米（N· ｍ）
P — 为轴所传递的功率，单位为千瓦（kW）
n — 轴的转速，单位为转/分（r/min）
当传递的功率P 的单位为PS（马力，1PS=735.5W） 时，上式变为：