ρ=
σ
2
3.5.2 MIMO无线信道的容量
• 定义
若由x的实部和虚部构成2n维实随机向量
ˆ x = [Re( xT ) Im( xT )]T是高斯随机向量，则称x
为n维复高斯随机向量。 如存在非负定（特征值都小于零）的Hermitian 矩阵QєCn×n，使得n维复高斯随机向量x所对应 的2n维实随机向量 x 的协方差满足 ˆ
λi
yi ' = λi xi '+ ni ', i = 1,L, r
yi ' = ni ', i = r +1,L, MR
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
Q
Ry′y′ = U H RyyU Rx′x′ = V RxxV
H
tr ( Ry′y′ ) = tr ( Ryy ) tr ( Rx′x′ ) = tr ( Rxx ) tr ( Rn′n′ ) = tr ( Rnn )
| hij |2 = M T , (i = 1, 2,L M R ) ∑
j =1 MT
HH H = MI M
MP P T C = F log det( I M + I M ) = F log det(diag (1 + T2 )) 2 Mσ σ P M P T = F log(1 + 2 ) = MF log(1 + T2 )
nn MR
•
C = EH {log[det( I M R
PT H + 2 HH )]} σ MT
= EH {log[det( I M R +
ρ
MT
HH )]}
H
3.5.2 MIMO无线信道的容量
• 中断容量 中断容量：指信道瞬时容量值小于某个指 定容量值的概率等于某一给定中断概率 Poutage时，该给定的信道容量称为对应于该 中断概率的中断容量Coutage，即
i
MT
r λi PT λi PT ∴ C = F ∑ log(1 + ) = F log ∏ (1 + ) 2 2 M Tσ M Tσ i =1 i =1 r
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
HH H , M R ≤ M T m = min( M R , M T ) G = H H H , M R ≥ M T PT C = F log det( I m + G) 2 M Tσ
i
yi′ = ni′ (i=r+1,r+2,L M R )
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
• 等效的MIMO信道可看成由r个相分离的并 行子信道组成，每个子信道指配一个H矩阵 的奇异值（或HHH的特征值），该奇异值 λi 相当于该子信道的幅度增益，而子信道的 功率增益相当于HHH的特征值λi。
λi
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
Pyi = (λν − σ ) i
C = F ∑ log(1 +
i =1 r
2 +
Pyi
σ
2
)
C = F ∑ log(1 +
i =1
r
1
σ
2
(λi µ − σ ) )
2 +
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
• 例2 正交传送的MIMO信道 令发送天线数和接收天线数相等，发送 机与相应的接收机之间通过正交、并行的子 信道相连接，因而各个子信道之间无干扰。
y = Hx + n
n ~ N (0, σ 2 I )
Model applies to any channel described by a matrix (e.g. ISI channels)
3.5.1 MIMO系统模型
• 发送信号：第j根天线发送xj为零均值i.i.d高 斯变量，发送信号的协方差矩阵为：
3.5 MIMO信道及其容量（总结）
• 采用空间分集技术的MIMO系统是对抗无线衰落、 提高传输信道容量的一种行之有效的方法。 • 在相同发射功率和传输带宽下，MIMO系统较单天 线系统的信道容量大大提高，有时甚至高达几十倍。 • 这些增加的信道容量既可用来提高信息传输速率， 也可不提高信息速率而通过增加信息冗余度提高通 信系统的性能，或者在两者之间取得折中。
• 矩阵HHH的非零特征值数目m等于矩阵H的秩r。 对于MR×MT矩阵H，其秩最大为 m = min( M R , M T ) 即H的非零奇异值最多有m个。 • 用 λi (i = 1, 2,L r ) 表示H的奇异值，则
yi′ = λi xi′ + ni′ (i=1,2,L r)
• 从第1个到第r个接收分量，子信道增益为 λi ， 而从第r+1接收分量起，子信道的增益为0，相应 的接收分量不再依赖发送分量 x′ 。
σ
σ
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
• 当MR= MT=M=8 ，SNR=24bit / sec/ Hz F
各子信道不相关联地给出了M倍增益。
3.5 MIMO信道及其容量（总结）
• MIMO系统的信道容量主要由H的奇异值决定，即 HHH的特征值。反映各支路的相关程度。 • 发送端未知CSI，采用功率均分
∑h
j =1
MT
2
ij
= M T , i = 1, 2,L M R
3.5.1 MIMO系统模型
• 接收端的噪声：各分量为独立的零均值高 斯变量，具有独立的和相等方差的实部和 虚部。 • 噪声协方差矩阵 Rnn = E{nn }
H
• 若n的分量间不相关， Rnn = σ I M R
2
• 每根接收天线具有相等的噪声功率σ2。 • 每根接收天线输出端的信号功率为PT，故 接收功率信噪比为 PT
Rxx = E{ xx H }
• 总的发送功率约束为 PT = tr ( Rxx ) • 若每根天线发送相等的信号功率PT/MT，
PT Rxx = I MT MT
3.5.1 MIMO系统模型
• 信道矩阵：H为复矩阵，hij表示第j根发送天 线至第i根接收天线的信道衰落系数。 • 归一化约束：每一根天线的接收功率均等 于总的发送功率
λi PT C = F ∑ log(1 + ) 2 M Tσ i =1
r
• 发送端已知CSI：采用water-filling，增加容量 r 1 C = F ∑ log(1 + 2 (λν − σ 2 ) + ) i
i =1
σ
• 发送端未知CSI时的信道容量小于或等于已知CSI 时的信道容量，是因为发送端可利用CSI对发送 模块进行优化处理。
ˆ ˆ ˆ ˆ E ( x − E{x})( x − E{x})
{
H
}
1 Re (Q ) − I m (Q ) = 2 I m (Q ) Re (Q )
则称x为循环对称复高斯随机向量。
3.5.2 MIMO无线信道的容量
• 定理1 设x єCn为零均值n维循环高斯复随机向量， H 且满足 E{xx } =，即 Q
E{xi x } = Qij , (1 ≤ i, j ≤ n)
* j
则x的熵满足
H ( x) ≤ log det(π eQ)
当且仅当x为循环对称复高斯分布时等式成立。
3.5.2 MIMO无线信道的容量
• 循环对称复高斯向量的性质 循环对称复高斯向量的性质： 若x єCn为零均值n维循环对称复向量，则 对任意的A єCn×n ，y=Ax也服从循环对称 高斯分布，且 E{ yy H } = AQAH 若x,y єCn为n维循环对称复高斯向量，且 相互独立， {xx H } = A ， { yy H } = B ， E E 则z=x+y也服从循环对称复高斯分布，且
3.5 MIMO信道及其容量
3.5.1 MIMO系统模型 3.5.2 MIMO无线信道的容量 3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
3.5.1 MIMO Channel Model
MT TX antennas h11 h31 h21 h22 h32 h13 h23 h33 h12 MR RX antennas
H
• z为关于特征值λ的MR×1特征向量。U的列是HHH的 特征向量，V的列是HHH的特征向量。
HH z = λ z , z ≠ 0
H
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
y = UDV x + n
H
令 y′ = U y
H
x′ = V x
H
n′ = U n
H
则
y′ = Dx′ + n′
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
Rn′n′ = U H RnnU
• 即y’、x’ 和n’的协方差矩阵与变换前y，x， n的协方差阵具有相同的迹（对角线元素 之和）或功率。
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
• 各子信道是分开的，因而它们的容量相加。 假定在等效MIMO信道模型中每根天线发送 PT 的功率为 ，总的信道容量可利用 MT r Pi Shannon公式求出： C = F ∑ log(1 + 2 ) σ i =1 • 式中F为每个子信道的带宽，Pi为第i个子信 道的接收信号功率： P = λi PT
PT = F log det( I m + HH H ) M Tσ 2 PT 或 F log det( I m + HHH) M Tσ 2
若信道系数是随机变量，上式表示瞬时容 量。遍历容量可通过对信道系数求统计得出。
3.5.3 用SVD方法对MIMO的进一步分析
例1：自适应发送功率情况下的MIMO信道容量 在系统呈闭环 闭环情况下，发送端可知信道 闭环 的状态信息（CSI），可根据注水法则，将 发送功率分配给各发送天线，即将较大的发 送功率分配给状态较好的信道，则可以增大 容量。 2 σ + Pi = (ν − ) i = 1, 2,L r (a)+表示max(a,0)