PA PB PC PA PB PC
B B
B
B
C
P
A
A
(2)
小结
☞
归纳推理和类比推理的过程
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳推理
合情推理 类比推理
归纳、 类比
提出 猜想
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
附加题( 上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 个特例,推广的命题为：----设---圆--的---方--程---为---①---(b-x≠----ad-)-)2-+,-(-则-y--由-b--)①-2-=-式r-2-减与---去②--②-(-x-式--c--可)-2-+得-(--y上---d述--)-2两-=-r-圆2-（-的-a--≠对---称c-或-轴--
有大气层
一年中有四季的变更
一年中有四季的变更
温度适合生物的生存
有生命存在
大部分时间的温度适合地 球上某些已知生物的生存
可能有生命存在
以上几个例子均是根据两个(或两类)对象之间在某 些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也相似或 相同,像这样的推理通常称为类比推理.(简称:类比法)
注：（1）类比推理是由特殊到特殊的推理； （2）类比推理的一般模式为:
单位元 a+0=a
ab=ba (ab)c=a(bc)
乘法的逆运算是除法, 使得ax=1有唯一解 x=1/a
a·1=a
例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比.
圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
球的定义：空间中到一个定点的距离等于定
长的点的集合.
圆
球
弦
截面圆
直径
大圆
周长
表面积
面积
体积
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的运算性质.
类比角度 实数的加法
实数的乘法
运算结果 若a,b∈R,则a+b∈R
若a,b∈R,则ab∈R
运算律
(交换律和 结合律)
逆运算
a+b=b+a (a+b)+c=a+(b+c)
加法的逆运算是减法,使得 方程a+x=0有唯一解x=-a
A类事物具有性质a,b,c, B类事物具有性质a’,b’,c’ 因为A类事物有性质d,所以B类事物具有d’ （a,b,c,d与a’,b’,c’,d’相似或相同）
类比推理
由特殊到特殊的推理
类比推理基础 以已知的、旧的知识为基础
类比推理的作用 注意
推测新的结果，具有发现 的功能．
类比推理的结论不一定成立
E
P
c
S1
a
D
S3
S2
b
M
下面证明猜想是否成立：
s2 s12 s22 s32
F △PEF的面积为S
证明：设ED a, DF b, DP c,
过D点作DM⊥EF,垂足为M，连接PM，则PM⊥EF
由题知, EF
a2
c2 , s3
1 ac 2
1 2
EF • DM
1 2
a2 c2 • DM
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
二、除了归纳，在人们的创造发明活动中， 还常常应用类比。例如：
1.古代工匠鲁班类比带齿的草叶 和蝗虫的牙齿,发明了锯．
2.人们仿照鱼类的外型和它们在 水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
3、火星上是否存在生命？
3、火星上是否存在生命？
地球
火星
行星、围绕太阳运行、绕 行星、围绕太阳运行、绕
轴自转
轴自转
有大气层
比较两个推理：
1、归纳推理
由部分到整体、特殊到一般的推理;
以观察分析为基础,推测新的结论;
具有发现的功能;
合
结论不一定成立.
情
推 理
2、类比推理
由特殊到特殊的推理;
以旧的知识为基础,推测新的结果；
具有发现的功能;
结论不一定成立.
几何中常见的类比对象
平面几何 点
立体几何 线
线
圆 三角形
面 球 四面体（各面均为三角形）
利用圆的性质类比得出球的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
代数中常见的类比对象
向量 无限 不等
数 有限 相等
例题解析：
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc; (3) a=ba2=b2;
(1) a＞ba+c＞b+c; (2) a＞b ac＞bc; (3) a＞ba2＞b2;
变式练习：在三角形ABC中有结论：
AB+BC>AC，类似地在四面体P-ABC中
有 B
.
P
S1 Ｃ S2
C
A
Ａ
S3
Ｂ
△PAB的面积为S
S1 S2 S3 S
练由习图2.(（1)有20面04积广关东系，:15SS）PPAABB
PA PB PA PB
则由图(2)有体积关系:
VP ABC VP ABC
DM ac ,
a2 c2
S2
1
EF
•
PM
2
PM DM 2
1 (a2 c2 ) [(
PD2
ac
)2
ac (
a2 c2
b2]
)2
b2
2
4
a2 c2
1 (a2 4
c
2
)
(
a a2
2c2 c
2
b2)
1 a2c2 4
1 a2b2 4
1 4
b
2c
2
s12
s22
s32
s2 s12 s22 s32
例题4：类比平面内直角三角形的勾股定理， P
B 试给出空间中四面体性质的猜想。 c
ac
C bA
c2=a2+b2 分析： 直角三角形
E
s1
D
a
s3
s2
b
M
△PEF的面积为S
F
s2 s？12 s22 s32
3个面两两垂直的四面体
∠C＝90°
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
2条直角边a，b和1条斜边c 三个两两垂直的面S1，S2，S3和 1个“斜面” S
---------------------------------------------------------
方程.
--------.
五、课堂小结：
1、运用类比方法解决问题，其基本过程可用框图 表示如下：
原问题 类比 类比问题
原问题解法
猜想 类比问题的解法
2、运用类比法的关键是：寻找一个合适的类比对象。