µ(A) = |A|, ∀A ∈ 2Ω.
则 µ 为 2Ω 上的测度.
思考题 让 S = 2R, 则 S 是 R 上的环. 构造环 S 测度 µ, 使得对每个开区间 (a, b), 都有 0 < µ((a, b)) < +∞.
定理 12 设 R 为集合 Ω 上的环, µ 为环 R 上的测度, 则 µ 具有如下性质: • 单调性: 对 A, B ∈ R, 如果 A ⊂ B, 则 µ(A) ≤ µ(B). • 可减性: 对 A, B ∈ R, 如果 A ⊂ B 并且 µ(A) < +∞, 则有
{
}
∑ ∞
∪∞
µ∗(A) = inf
µ(An) : {An} ⊂ R, A ⊂ An ,
n=1
n=1
称 µ∗(A) 为 A 的外测度.
定理 16 设 (Ω, R, µ) 为 σ 有限的测度空间, Ω 上的外测度 µ∗ 有如下性
质:
(1) 单调性: 当 A ⊂ B ⊂ Ω 时, 有 µ∗(A) ≤ µ∗(B).
µ(B) − µ(A) = µ(B \ A).
5
∪∞ • 设 Ak ∈ R, Ak ⊂ Ak+1, k = 1, 2, · · · , 并且 Ak ∈ R, 则有
k=1
(
)
∪∞
µ
Ak = lim µ(Ak).
k→∞
k=1
∩∞ • 设 Ak ∈ R, Ak ⊃ Ak+1, k = 1, 2, · · · , 如果 µ(A1) < +∞ 并且 Ak ∈ R,
(
)
∪∞
∑ ∞ ∑ ∞
µ∗
An ≤
µ(Bn,k )
n=1
n=1 k=1
≤
∑ ∞
( µ∗(An)
+≤ ε + µ∗(An),
n=1
7
让 ε → 0, 故得次可加性.
定义 17 (可测集) 设 (Ω, R, µ) 为 σ 有限的测度空间, µ∗ 为外测度. 称 A ⊂ Ω 是可测的, 如果它适合如下的 Caratheodory 条件:
显然 K(A) ⊂ M (R). 只需证明 K(A) = M (R), 为此, 我们先证明: K(A) 为单 调类.
3
任取一列 {Bn} ⊂ K(A), B1 ⊂ B2 ⊂ · · · , 注意到 M (R) 为单调类, 由
K(A) 定义, 我们有
(
)
∪∞
∪∞
Bn ∪ A = (Bn ∪ A) ∈ M (R),
∪∞ An ∈ Σ, A1 \ A2 ∈ Σ.
n=1
进一步地, 对 Ω 上的 σ 环 Σ, 如果还有 Ω ∈ Σ, 则称 Σ 为 Ω 上的 σ 代数, 简 称 Σ 为 σ 代数.
依 De Morgan 律, 显然 σ 代数对 “可列交” 运算也是封闭的.
1我们认为 (a, a] = ∅.
2
定理 5 (由 F 生成的 σ 环) 设 Ω 为集合, F 为 Ω 上的集类, 让
∪∞ An ∈ M (R),
n=1
2 环上的测度
定义 9 (环上的测度) 设 Ω 为集合, R 为 Ω 上的环, 称函数 µ : R → R 为环 R 上的测度, 如果它满足:
2M (R) 是包含环 R 的最小的单调类. 3因为 M (R) 已经是环, 故它对 “差” 运算封闭.
4
• µ(∅) = 0;
n=1
K(A) 是单调类.
特别, 对 A ∈ R, 由于 R 为环, 故 R ⊂ K(A), 由单调类 M (R) 的极小 性2可知 M (R) ⊂ K(A), 进而 M (R) = K(A).
综合以上可知, 对每个 B ∈ M (R), 只要 A ∈ R, 则 B ∪A, B ∩A, B \A, A\B 都属于 K(B), 故有 R ⊂ K(B). 再次注意到单调类 M (R) 的极小性即得 M (R) ⊂ K(B) ⊂ M (R), 从而 K(B) = M (R), 进而 M (R) 是一个环.
(n=1 )
n=1
∪∞
∪∞
Bn ∩ A = (Bn ∩ A) ∈ M (R),
n=1
n=1
(
)
∪∞
∪∞
Bn \ A = (Bn \ A) ∈ M (R),
n=(1 ∪∞
) n=1 ∩∞
A\
Bn = (A \ Bn) ∈ M (R),
n=1
n=1
∪∞ 从而 Bn ∈ K(A), 类似验证 K(A) 对单调递减列的可列交也是封闭的, 从而
E = {(x, y) : a < x ≤ b, c < y ≤ d}
为 R2 中左下开右上闭的矩形, 由有限个左下开右上闭的矩形的并集的全体构成 R2 上的一个环 E.
定义 4 (σ 环, σ 代数) 设 Ω 为集合, Σ 为 Ω 上的集类, 称 Σ 为 Ω 上的 σ 环, 如果对 Σ 中的任何一列元素 {An}, 都有
定理 8 (单调类定理) 设 R 为集合 Ω 上的环, 则
Σ(R) = M (R).
证明. 只需验证 Σ(R) 是单调类, 而 M (R) 是 σ 环, 前者为显然. 我们先来证明 M (R) 是一个环. 对任何 A ∈ M (R), 让
K(A) = {B ∈ M (R) : A ∪ B, A ∩ B, A \ B, B \ A ∈ M (R)},
(2) 当 A ∈ R 时, 有 µ∗(A) = µ(A).
(3) 次可加性: 若 An ⊂ Ω, n = 1, 2, · · · , 则
(
)
∪∞
∑ ∞
µ∗
An ≤ µ∗(An).
n=1
n=1
6
证明. (1) 为显然.
(2) 当 A ∈ R 时, 显然 µ∗(A) ≤ µ(A), 故我们只需再证明 µ(A) ≤ µ∗(A). 任 ∪∞
k=1
则
(
)
∩∞
µ
Ak = lim µ(Ak).
k→∞
k=1
证明. 略.
3 环上测度的延拓
定义 13 (σ 有限) 设 (Ω, R, µ) 为测度空间, 称它是 σ 有限的, 如果存在
一列 {An} ⊂ R 适合下列条件: • µ(An) < +∞, n = 1, 2, · · · ;
∪∞ • Ω = Ak.
n=1
由上面的定义容易看出, σ 环都是单调类.
定理 7 (由 F 生成的单调类) 设 Ω 为集合, F 为 Ω 上的集类, 让
∩
M (F ) =
M,
F ⊂M , M 为单调类
则 M (F ) 为单调类, 称它为由 F 生成的单调类.
证明. 直接验证, 详证略. 下面的单调类定理将在后面测度延拓唯一性的证明中有重要的应用.
A1 ∪ A2 ∈ R, A1 \ A2 ∈ R.
称集合 Ω 连带其上的一个环 R 为一个可测空间, 记作 (Ω, R). 进一步地, 如果 还有 Ω ∈ R, 则称 R 为 Ω 上的代数.
依 De Morgan 律, 显然代数对 “有限交” 运算也是封闭的.
例 2 (环 R0, R1) 设 R 为 1 维 Euclid 空间, 对 −∞ < a ≤ b < +∞, 用
最后我们证明 M (R) 是 σ 环, 这只需验证 M (R) 对 “可列并” 运算封闭3.
任取一列 {An} ⊂ M (R), 由于 M (R) 是一个环, 故
∪n A1, A1 ∪ A2, · · · , Ai, · · · ∈ M (R),
i=1
而 M (R) 是单调类, 故有 这就证明了 M (R) 是 σ 环.
定义 6 (单调类) 设 Ω 为集合, M 为 Ω 上的集类, 称 M 为单调类, 如果 它满足以下两条:
∪∞ • 对任何一列 {An} ⊂ M 适合 A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , 都有 An ∈ M ;
n=1
∩∞ • 对任何一列 {Bn} ⊂ M 适合 B1 ⊃ B2 ⊃ · · · , 都有 Bn ∈ M .
k=1
例 14 设 Ω 为一不可列集, R = {A ⊂ Ω : |A| < +∞}, 则 R 为 Ω 上的 环, 让 µ 定义为可测空间 (Ω, R) 上的计数测度, 则 (Ω, R, µ) 不是 σ 有限的.
定义 15 (外测度) 设 (Ω, R, µ) 为 σ 有限的测度空间, 对每个 A ⊂ Ω, 让
(a, b] 表示 R 中的左开右闭的区间1, 让
{
}
∪n
R0 =
(ai, bi] : n ∈ Z+, ai, bi ∈ R ,
i=1
则 R0 为 R 上的一个环. R1 表示 R 中的有限个有限区间 (不论开, 闭抑或半开 半闭) 的并集的全体所成的集类, 则 R1 也是 R 上的环.
例 3 (环 E) 设 R2 为 2 维 Euclid 空间, 当 a ≤ b, c ≤ d 时, 称
给 ε > 0, 由外测度的定义, 存在 {An} ⊂ R 使得 A ⊂ An, 并且满足
n=1
∑ ∞ µ∗(A) + ε > µ(An).
n=1
让 Bk = Ak ∩ A, k = 1, 2, · · · , 则 (
)
∪∞
∪∞
A=A∩
An = Bn.
n=1
n=1
让
(
)
n∪−1
C1 = B1, C2 = B2 \ C1, · · · , Cn = Bn \
(3) 不妨设 µ∗(An) < +∞. 任给 ε > 0, 对每个 An ⊂ Ω, 由外测度定义,
n=1