电磁场与电磁波计算题题解例1 在坐标原点附近区域内，传导电流密度为：25.1/10m A r a J r c -=求：① 通过半径r=1mm 的球面的电流值。
② 在r=1mm 的球面上电荷密度的增加率。
③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率。
解：①Amm r r mm r d d d r rs d J I c 97.31401sin 105.02025.1=====⋅=⎰⎰⎰πϕθθθππ② 因为 5.25.1225)10(1--==⋅∇r r r rd d r J c 由电流连续性方程，得到：38/1058.111m A mm r J mmr t c ⨯-==⋅∇-==∂∂ρ③ 在r=1mm 的球内总电荷的增加率A I td d 97.3-=-=θ例2 在无源的自由空间中，已知磁场强度m A z t a H y /)10103(cos 1063.295-⨯⨯=-求位移电流密度d J 。
解：由于0=c J ，麦克斯韦第一方程成为tDH ∂∂=⨯∇ ∴ H tDJ d ⨯∇=∂∂=yz y x H z y x a a a ∂∂∂∂∂∂=294/)10103sin(1063.2m A z t a zH a x y x-⨯⨯-=∂∂=-例3 在无源的区域中，已知调频广播电台辐射的电磁场的电场强度m v z a E y /)9.201028.6sin(1092-+⨯=-求空间任一点的磁感强度B 。
解：由麦克斯韦第二方程E tB ⨯-∇=∂∂0yzy xE zy x a a a ∂∂∂∂∂∂-=z E a y x∂∂= )9.201028.6cos(109.2092z t a x -⨯⨯-=- 将上式对时间t 积分，若不考虑静态场，则有 )9.201028.6cos(109.2092z t a t d tBB x -⨯⨯-=∂∂=⎰⎰- T z t a t d x )9.201028.6sin(1033.3911-⨯⨯-=- 例4 已知自由空间中，电场强度表达式为)(cos z t w a E x β-=;求磁场强度的H 表达式。
解： E ⨯∇tB∂∂-= 第二方程 且在自由空间中 B H ⋅=μ ∴)(1100x y E za E t H ∂∂-=⨯∇-=∂∂μμ)sin(10z t w a yββμ--= ∴)cos()sin(00z t w wa t d z t w a H y yβμββμβ-=--=⎰ 上式积分的常数项对时间是恒定的量，在时变场中一般取这种与t 无关的恒定分量为0。
例5 有一个广播电台在某处的磁感应强度为m A a x t B z/)]103(1.2[cos 2.080⋅-⨯=μ 媒介为空气，求该处的位移电流密度。
解：在该处无传导电流 tDJ d ∂∂=d J tDB 00μμ=∂∂=⨯∇ ∴ B J d ⨯∇=1μ 在直角坐标系中： )]103(1.2[cos 2.080x t B z -⨯=-μzyxz y x B B B z y x a a a B ∂∂∂∂∂∂=⨯∇ =z x y y z x x yz a yB x B a x B z B a z B y B )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂ ∴B J d ⨯∇=01μ=y z a x B )(10∂∂-μ=01μ)1.2)(103(1.2sin 2.080x x t --⨯-μ例6 同轴电缆的内导体外半径a=1mm ，外导体内半径b=4mm ，内外导体之间是空气介质，且电场强度为m V a az t rE r/)10(cos 1008-=① 用麦克斯韦方程求а。
② 求磁感应强度B 。
③ 求内导体表面电荷密度s ρ。
④ 求长度 0≤z ≤1 m 中总的位移电流。
解：-=∂∂tBE ⨯∇ =AzA Arz r r a a r a z r ϕϕϕ∂∂∂∂∂∂-=0Arz r r a a r a z r ∂∂∂∂∂∂-ϕϕ =)1(z a rA r a z r A ⋅∂∂-⋅∂∂-ϕϕ =)10(sin 100]0)10(sin 100[88z t raz t r a αα--=--+- ∴)10(cos 1010088z a t rd B -⋅+=- ∵ 在内外中间的空气中，ρρ=⋅∇=D J c 00、又由∵ tDH ∂∂=⨯∇ t E B ∂∂=⨯∇001εμ 将B 代入，则：r r a z t ra z t r )10(sin 10100)10(sin 1010018808820αεααμ-⨯-=-- ∴ 8082010100101001⨯=-rr εαμ ∴ 0016210εμα= 9010361-⨯=πε 法拉/米 ∴ 16162109110-⨯=α m H /10470-⨯=πμ∴ 31=α ② ∴ ϕa z t r B )3110(cos 103186-⨯=- ③ 在内外导体之间作园柱形高斯面，有⎰⎰⎰=⋅=⋅vss s d V d S d E ρρε∴ ⎰⎰=z d d a z d d r E s ϕρϕε0⎰⎰⎰⎰=⋅1201020ππϕρϕεz d d a z d d r E s r∴ r E ars 0ερ=∴ r s a z t rr)10(cos 100101830αερ-⨯⨯==)3110(cos 10850z t -⨯εtDJ d ∂∂-= ④ S d tE S d t D I s sd ⋅∂∂=⋅∂∂=⎰⎰0ε=s d a z t rr ⋅⋅--⨯⎰)]10(sin [10100880αε =z d d r z t rϕαε⋅--⎰)10(sin 108100 =⎰⎰--10208100)3110(sin 10πϕαεz d d r z t r =⎰⎰-⨯-1208100)3110(sin 10πϕεz d d z t =)]3110cos(10[cos 106)3110(cos 10688010108010--⨯=-⨯-t t z t επεπ =)6110(sin 61sin 3108-⋅-t例7、在两导体平板（0=z 和d z =）之间的空气中传输的电磁波，其电场强度矢量)cos()sin(0x x k t z dE y e E -=ωπ其中x k 为常数。
试求：（1）磁场强度矢量H 。
（2）两导体表面上的面电流密度s J 。
解：（1） 由麦克斯韦方程可得：z y Ex e E ∂∂-=⨯∇x yEz e∂∂+tB ∂∂-= 对上式积分后得：)sin()cos(0x x k t z d d E x e B -=ωπωπ)cos()sin(0x x k t z dk E z e x -+ωπω 即：)sin()cos(00x x k t z d d E x e H -=ωπωμπ)cos()sin(00x x k t z dk E x e x-+ωπωμ （2） 导体表面上的电流存在于两导体板相向的一面，故在0=z 表面上，法线z e n =，面电流密度=⨯==0z z s He J )sin(00x xk t d Ey e-ωωμπ在d z =表面上，法线z e n -=，面电流密度=⨯-==dz z s He J )sin(00x xk t d Ey e-ωωμπ 例8、一段由理想导体构成的同轴线，内导体半径为a ，外导体半径为b ，长度为L ，同轴线两端用理想导体板短路。
已知在b r a ≤≤、L z ≤≤0区域内的电磁场为：kz r A r e E sin =，kz rB e H cos θ=（1） 确定A 、B 之间的关系。
（2） 确定k 。
（3） 求a r =及b r =面上的s ρ、s J 。
解：由题意可知，电磁场在同轴线内形成驻波状态。
（1）A 、B 之间的关系。
因为z r EeE ∂∂-=⨯∇θH j kz rAk e ωμθ-==cos所以=BA k j ωμ- （2）因为rH 1=⨯∇zrH r e∂∂-)([θ])(r rH z e ∂∂+θ==kz r Bk r e sin E j ωε 所以 =BA ωεj kkj ωμ-ωεj k = ， μεω=k （3）因为是理想导体构成的同轴线，所以边界条件为：s J H n =⨯ ， s D n ρ=⋅在a r =的导体面上，法线r e n =，所以 =⨯==ar sa Hn J kz r B z e cos kz a B z e a r cos ===⋅==a r sa D n ρkz r A sin εkz aAa r sin ε== 在b r =的导体面上，法线r e n -=，所以 =⨯==br sb Hn J kz r B z e cos -kz bB z e b r cos -===⋅==b r sb D n ρkz r A sin ε-kz bA b r sin ε-==例9、电磁波在真空中传播，其电场强度矢量的复数表达式为：)/(20410)()(m V zj eyje x e t E π---=试求：（1） 工作频率f 。
（2） 磁场强度矢量的复数表达式。
（3） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。
解：由题意可得：ck ωεμωπ===0020，9106⨯=πω 所以工作频率z H f 9103⨯=（1） 磁场强度矢量的复数表达式为：=⨯=E e H z η1)(10x y je e +η)/(20410m A zj eπ--其中波阻抗Ω=πη1200。
（2） 坡印廷矢量的瞬时值和时间平均值。
电磁波的瞬时值为： )/()20cos(410)(]Re[)(m V z t y je x e Ee t E t j πωω---==)/()20cos(410)(01]Re[)(m A z t x je y e He t H t j πωηω--+==所以，坡印廷矢量的瞬时值：=⨯=)()()(t H t E t S )20(cos 810012z t πωη--⨯-)(y je x e 2/0)(m W x je y e =+同理可得坡印廷矢量的时间平均值：2/0]21Re[m W H E av S=*⨯=例10、已知空气中一均匀平面电磁波的磁场强度复矢量为：)/()34()462(m A z x j ee ye x e H z μπ+-++-=试求：（1） 波长、传播方向单位矢量及传播方向与z 轴的夹角。
（2） 常数A 。
（3） 电场强度矢量。
解：（1） 波长、传播方向单位矢量及传播方向与z 轴的夹角分别为：πππ5)3()4(22=+=+=z x k k k ，m k4.02==πλz x z x k e e ke e e 6.08.034+=+=ππ，6.0cos =z θ)34(z x j e +-π故53=z θ（2） 因为0=⋅∇H ，所以0124=-=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇j jA zz H y y Hx x HH ππ解之得3=A 。