42m
71
226 226
6mm (L66P)
6mm
72
226 226
6m2 (L6i3L23P)
6m2
73
233 233
2
m 3 (3L24L33PC)
m3
74
233 233
2 3 (m3) m
75
234组合→234
234 4 3 2 (m3m) mm
76
4 m
3
2 m
(3L44L36L29PC)
45°
6 90° 90°
30°
3 3 70.529° 54.736° 54.736°
4 54.736 °
45°
35.264°
6 0°
0°
0°
4 4 0°
0°
0°
6/
/
/
66 /
Байду номын сангаас
/
/
说明
可能的组合 可能的组合 合可能的组 可能的组合 可能的组合 可能的组合
无意义 无意义 不可能的组合 不可能的组合25
第三章 晶体的宏观对称性
5 5
§3-1 对称性与对称操作
A' A
D
C
B
D'
B' C'
D
M A
N C
D' B' C' D
A
C C' D' D
A
C D'
B
B
B
对称元素; 对称操作; 晶体的对称性
晶体外部形态的对称性，通常称为宏观对称性, 点对称性。
晶体内部原子排列的对称性，称为微观对称性
6
§3-2晶体的宏观对称元素 倒反(反演) — 对称中心
推理2 如果一个反映面包含一个n次旋转轴，则必有
n个反映面包含此n次旋转轴。
32
4、旋转轴与反映面的组合
定理4 偶次旋转轴与垂直于它的反映面组合，偶次 轴与反映面的交点必定是对称中心。
A
B
A4
A3
A2
A1
t
m
P
i
t
B3 B4
C
B1
B2
A3 A1
B3 B1
A2
P
B2
33
5、对称中心与旋转轴、反映面的组合
15
4。倒转轴
旋转一定角度后，再进行倒反：1, 2, 3, 4, 6
A
C
+
-
A'
1
1
2
-, +
m
3
2
2m
16
3
2
1
B
A
C
+
,,-
3 31
,+
+
-
3
3
17
+
,-
-,
+
4
4
18
,- +
,- +
,- +
6
6 3 m
19
L
1 i
,
L
2 i
,
L
3 i
,
L
4 i
,
L
6 i
1 , 2 , 3 ,4 ,6
m3m
77
234 234
m3m
78
234组合→ 234
234 43m
79
43m (3Li44L36P)
43m
80
倒转轴与旋转轴的欧拉组合
旋转轴的欧拉组合
倒转轴的欧拉组合
组合轴次 国际符号 对称元素 组合轴次 国际符号 对称元素
222
222
223
32
3L2 L33L2
222
mm2
L22P
223
C 1i, C 2i, C 3i, C 4i,C 6i
L
1 i
=
C
L
2 i
=
P
L
3 i
= L33 +
C
L
4 i
L
6 i
=
L3 3
+
P
20
晶体中可以没有倒转轴 ，也可以有一个 或有限的几个特定的倒转轴 ，倒转轴必须交 于一点。
5. 映转轴
映转操作 = 旋转后再反映
1次映转轴 Ls1
2次映转轴 LS2
Li1 = C C + P →PL2⊥C C+L2 →PL2⊥C
35
下列组合正确的是:
L43P L3PC
L22P L6PC
3L2 L33P
36
2 m 3 (3L24L33PC)
432 (3L44L36L2)
37
6、倒转轴的组合 定理8 如果反映面包含Lin，或Lin 垂直于L2: n为奇，n个2次轴 ⊥ Lin ，n个反映面∥Lin ； n为偶，n/2个2次轴⊥ Lin，n/2个反映面∥Lin ； 反映面的法线与相邻2次旋转轴之间的夹角均为360/2n。
单一对称操作
旋转 — 旋转轴
对称操作
复合对称操作
反映—反映面 倒反+旋转—倒转对称轴
反映+旋转—映转轴
7
1、对称中心
1
惯用记号: C; 国际符号:i; 熊夫利符号:Ci 反演、倒反
8
2、旋转轴
旋转操作; 旋转对称轴 （旋转轴 ） 基转角: 旋转轴的轴次: n = 360/
旋转矩阵：
x2 cos a
3次映转轴 LS3
t
t
t
t
t
t
21
4次映转轴 LS4
2
1
6次映转轴LS6
3
4
m
1'
4'
2'
3'
Ls1 = P = Li 2 LS3 = L3 +P = Li 6 LS6 = L3 +C = Li 3
LS2 = C = Li 1 LS4 = Li 4
t t
22
点对称操作、对称元素
L1、L2、L3、L4、L6、C、P和Li 4。 其它的对称元素可以由这8个对称元素中的两个 对称元素组合而成。 其中，Li 6 = L3+P，但Li 6的轴次高于L3，Li 6属于 六角晶系中的对称元素，习惯上不用L3+P来代替。 轴次为3、4、6的旋转轴、倒转轴等对称轴叫做 高次轴。
y2
sin
a
z2 0
sin a cos a
0
0x1
0
y1
1z1
cos a sin a 0
Rz, () sin a cos a 0
0
0 1
9
N只能是1，2，3，4，6 没有5或者7等更高次
AB AC, AD
AD = AC = AB AE = m·AB AE = 2·AC·cos m = |2·cos| (m整数，晶体的平移周期性）
+ +
+
3(C3)
+ +
+ +
4(C4)
3 4
13
+ +
+
+
+ +
6(C6)
6
一个晶体中可以不存在旋转轴，也可 以有几种旋转轴同时存在。
不同晶体有着不同的旋转轴组合方式。
14
3。反映面 （对称面、镜面）
m
m
常用：P 国际：m 熊夫利：Cs
一个晶体中可以没有反映面，也可以有 一个或有限的几个反映面，反映面之间的夹 角只能取某些特定的值。
1+1= 1
C
A'
_
_
1+3= 3
(2) 偶次轴与对称中心的组合
60
2、m +C→2/m
2/m (L2PC)
2/m
61
_
4, 4 +C→4/m
62
4/m (L4PC)
4/m 63
6+C→6/m
6/m(L6PC)
6/m 64
5、倒转轴与旋转轴的组合群： 10种
222→ 222
mm2 (L22P)
33 3
0°
0°
4
/
/
6
/
/
44
/
/
6
/
/
66
/
/
44 4
/
/
46
/
/
66
/
/
66 6
/
/
0°
无意义
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
/
不可能的组合
26
旋转轴的可能组合
⑴ 两个2次轴以30°、45°、60°或90°相交； ⑵ 2次轴与3次轴以54.736°、35.264°或90°相交； ⑶ 2次轴与4次轴以45°、90°相交； ⑷ 2次轴与6次轴以90°相交； ⑸ 两个3次轴以70.529°相交； ⑹ 3次轴与4次轴以54.736°相交。
3m
L33P
223
3m
L33L23PC
224
422
L44L2
224
4mm
L44P
226
622
L66L2
224
42m
Li42L22P
226
6mm
L66P
226