4.2 摩擦角和自锁现象
4.2.1 摩擦角
当有摩擦时，支承面对平衡物体的反力包含法向
反力FN和切向摩擦力Fs ,这两个力的合力称为支承面的 全约束反力，即FR= FN + Fs ，它与支承面间的夹角j
将随主动力的变化而变化，当物体处于临界平衡状态
时，j角达到一最大值jf。全约束力与法线间的夹角的 最大值j f称为摩擦角。
条件是 a jf
4.3 考虑摩擦的平衡问题
考虑摩擦时，求解物体平衡问题的步骤与前几章所述 大致相同，但有如下的几个特点：(1)分析物体受力时，必
须考虑接触面间切向的摩擦力Fs，通常增加了未知量的数
目；(2)为确定这些新增加的未知量，还需列出补充方程，
即Fs ≤ fsFN，补充方程的数目与摩擦力的数目相同；(3)由 于物体平衡时摩擦力有一定的范围(即0≤Fs≤fsFN)，所以有
坐标。
X 0 : NB FA 0 ———（1）
NB B
FB
aA
y
x
P a min A
Y
0:
NA
FB
P
0
——（2）
mA(F) 0 :
FA
NA
Pa cosamin FB 2a cosamin NB 2a sinamin 0 —（3）
由摩擦定律：
FA fN A ——（4） FB fN B ——（5）
主动力的合力FR与法线间的夹角 q < jf，因此， FR和全约束反力 FRA必能满足二力平衡条件，且q j < jf 。
jf
jf
FR
q
A
j
FRA
jf
4.2.2 自锁现象
(2) 如果全部主动力的合力
FR的作用线在摩擦角j之外，则
jf
jf
无论这个力怎样小，物块一定
会滑动。因为在这种情况下，q
q
FR
0 j jf
由于静摩擦力不可能超过最大 值，因此全约束反力的作用线 也不可能超出摩擦角以外，即 全约束反力必在摩擦角之内。
jf
FR j FN
Fmax
4.2.2 自锁现象
(1)如果作用于物块的全部主
动力的合力FR的作用线在摩擦角 jf之内，则无论这个力怎样大，
物块必保持静止。这种现象称为
自锁现象。因为在这种情况下，
摩擦力不能再随之增大，物体将失去平衡而滑动。这就是静摩
擦力的特点；
静摩擦定律（库仑摩擦定律）
综上所述可知，静摩擦力的大小随主动力的情况 而改变，但介于零与最大值之间，即
0 Fs Fmax
由实验证明：最大静滑动摩擦力的大小与两物体 间的法向反力的大小成正比，即：
Fmax fs FN
这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦系数。
a m in
2
jm
CAE
2
jm
ACE
2
2jm
故 a 应满足的条件是：
2
a

2
2j m
例3 在用铰链 O 固定的木板 AO和 B
O间放一重 W的匀质圆柱, 并用大小 等于P的两个水平力P1与 P2维持平衡 A
2d
P1 P2
B
,如图所示。设圆柱与木板间的摩擦
W
系数为 f , 不计铰链中的摩擦力以及
CD
木板的重量,求平衡时P的范围。
⑵ 有利的一面：可利用其进行传动、制动、调速、联接、 夹卡物体等。另外，人类的生活也时时离不开摩擦。
4.1 滑动摩擦
当两个相互接触的物体具有相对滑动或相对滑动趋势时， 彼此间产生的阻碍相对滑动或相对滑动趋势的力，称为滑动摩 擦力。摩擦力作用于相互接触处，其方向与相对滑动的趋势或 相对滑动的方向相反，它的大小根据主动力作用的不同，可以 分为三种情况，即静滑动摩擦力，最大静滑动摩擦力和动滑动 摩擦力。
若仅有滑动趋势而没有滑动时产生的摩擦力称为静滑动摩 擦力；若存在相对滑动时产生的摩擦力称为动滑动摩擦力。
4.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
FN
FN
F FS
P
P
在粗糙的水平面上放置一重为P的物体，该物体 在重力P和法向反力FN的作用下处于静止状态。今在 该物体上作用一大小可变化的水平拉力F，当拉力F由
q
W f
cos
q
取OA板为研究对象画受力图，此时的水平力 有极小值Pmin
A
mO (Fi ) = 0
N1 r ctgq Pmind ctgq
P1
F1
N1
C
Pm in
2dsin
Wr qf
cosq
(2)求P的极大值
q
Fx O
Fy
当P达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态.只要改变受力图 中摩擦力的指向和改变 F 前的符号即可.
和一般约束反力共同的性质。静摩擦力又与一般约束反力不同，
它并不随力F的增大而无限度地增大。当力F的大小达到一定数
值时，物块处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界状态。这时，
只要力F再增大一点，物块即开始滑动。当物块处于平衡的临
界状态时，静摩擦力达到最大值，即为最大静滑动摩擦力，简
称最大静摩擦力，以Fmax表示。此后，如果F再继续增大，但静
静摩擦系数的大小需由实验测定。它与接触物体 的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等)有关， 而与接触面积的大小无关。
4.1.2 动滑动摩擦定律
当滑动摩擦力已达到最大值时，若主动力F再继续
加大，接触面之间将出现相对滑动。此时，接触物体 之间仍作用有阻碍相对滑动的阻力，这种阻力称为动
滑动摩擦力，简称动摩擦力，以Fd表示。实验表明：
2q
O
( 分析：P小，下滑； P大，上滑)
解:(1)求P的极小值
设圆柱处于下滑临界状态,画受力图.
由对称性得:
N1 = N2 = N Fy = 0
F1 = F2 = F
2Fcosq + 2Nsinq - W=0
CD
N1 F1 W F2 N2 O
(1)
F=fN
(2)
联立(1)和(2)式得:
N
2sin
FR j FN
jf
FR j FN
Fs
Fmax
jf
4.2.1 摩擦角
由图可知，角jf与静滑动摩擦系
FR
数f的关系为：
j FN
tan jf
Fmax FN
fs FN FN
fs
Fmax
即：摩擦角的正切等于静摩擦系数。可见，摩擦角与
摩擦系数一样，都是表示材料的表面性质的量。
当物块的滑动趋势方向改变时，全约束反力作用
零值逐渐增加但不很大时，物体仍保持静止。可见支
承面对物体除法向约束反力FN外，还有一个阻碍物体
沿水平面向右滑动的切向力，此力即静滑动摩擦力，
简称静摩擦力，常以FS表示，方向向左，如图。
4.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
FN F
FS
Fx 0 : FS F 0 FS F
P
静摩擦力的大小随水平力F的增大而增大，这是静摩擦力
动摩擦力的大小与接触体间的正压力成正比，即
Fd f FN
式中f是动摩擦系数，它与接触物体的材料和表面情
况有关。 动摩擦力与静摩擦力不同，没有变化范围。一般
情况下，动摩擦系数小于静摩擦系数，即 f < fs。
4.1.2 动滑动摩擦定律
实际上动摩擦系数还与接触物体间相对滑动的速度大小有关。 对于不同材料的物体，动摩擦系数随相对滑动的速度变化规律 也不同。多数情况下，动摩擦系数随相对滑动速度的增大而稍 减小，但当相对滑动速度不大时，动摩擦系数可近似地认为是 个常数。
Qmin Ptg(a jm )
当物体处于向上滑动的临界平衡状
P
jm R1
a jm P R1
Qm in
态时，受力如图，可得力三角形如图。
由力三角形可得：
Qmax Ptg(a jm )
Qmax
P
jm
R2
故力Q 应满足的条件为：
a jm
Ptg(a jm ) Q Ptg(a jm )
摩擦时平衡问题的解亦有一定的范围，而不是一个确定的
值。
工程中有不少问题只需要分析平衡的临界状态，这时
静摩擦力等于其最大值，补充方程只取等号。有时为了计
算方便，也先在临界状态下计算，求得结果后再分析、讨
论其解的平衡范围。
例1 将重为P的物块放在斜面上，斜面倾
角a 大于接触面的摩擦角j m （如图），
F2max fN 2
联立求解得：
Qm a x
sina cosa
f f
cosa s in a
P
x
F2max N2
故力 Q 应满足的条件为：
sina f cosa P Q sina f cosa P
cosa f sina
cosa f sina
解2：（几何法）
Qm in
当物体处于向下滑动的临界平衡状 态时，受力如图，可得力三角形如图。 由力三角形可得：
P
R2
Qmax
将上式展开亦可得同上结果。
B 例2 梯子AB长为2a，重为P，其一端置于水
平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯
子与地和墙的静摩擦系数均为 f ，问梯子与
水平线的夹角a 多大时，梯子能处于平衡？
P
解1：（解析法）以梯子为研究对象，当梯 子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力
如图，此时a 角取最小值amin 。建立如图
① 流体摩擦—流体相邻层之间由于流速的不同而引起的切
向力。
滑动摩擦——由于物体间相对滑动或有相对滑动趋势引
② 起的摩擦。
滚动摩擦——由于物体间相对滚动或有相对滚动趋势引 起的摩擦。