第六节 二元函数的极值与最值
一、二元函数极值
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定 义，对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y) ：若恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极大值； 若恒有 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
z2 6,
8
二元函数的最值
若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值), 而在定义区域内部有惟一的极大(小)值点,则可以断 定该极大(小)值点即为最大(小)值点.
例 设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2， 数量为x；而B 的单价为1，数量为y，而产量为
( x0, y0 ) 处 有极 值， 则它 在该点 的偏 导数 必然 为零： f x ( x0 , y0 ) 0 ， f y( x0 , y0 ) 0 .（称驻点）
注意：极值点
驻点
例如, 点(0,0)是函数z xy的驻点，但不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
3
定理2（充分条件）
将上方程组再分别对x, y 求偏导数,
7
A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
C
zyy
|P
2
1
z
,
故
B2
AC
(2
1 z)2
0
(z 2),函数在P 有极值.
将P(1,1)代入原方程, 有z1 2,
当z12时，A1来自40,所以z f (1,1) 2为极小值；
当z2
6 时， A
1 4
则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1）AC B2 0时具有极值，且当A 0 时有极大值，
当 A 0时有极小值；
（2）AC B2 0时没有极值； （3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
4
求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：
32 p1 12 p2 0.2 p12 0.05 p22 1396 ,
Lp1 Lp2
32 0.4 p1 12 0.1 p2
0 0
p1 p2
80 120
,
因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，
故当 p1 80, p2 120 时，利润最大。
11
二、条件极值与拉格朗日乘数法
实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域 的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极 值问题称条件极值问题. 例 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V, 问怎么做用料最省？
解 即表面积最小.设水箱的长、宽、高分别为x, y, z ,则 目标函数： S 2( xy yz zx) ,
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
设 f x ( x0 , y0 ) 0 , f y ( x0 , y0 ) 0 ，
令 f xx( x0, y0 ) A ， f xy( x0 , y0 ) B ， f yy ( x0 , y0 ) C ，
小值. 使函数取得极值的点称为极值点. 极大值、极小值统称为极值.
1
例1 函数 z 3x2 4 y2
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
(3)
在 (0,0) 处无极值．
2
极值的求法
定理1（必要条件）
设 函 数 z f ( x, y) 在 点( x0, y0 ) 具 有偏 导数 ，且 在点
极小值-5
(3, 2) 12 0 6
(1, 2) 12 0 6
极大值31
无极值
6
例 4 求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y
4z 10 0确定的函数z f ( x, y)的极值
解 将方程两边分别对x, y 求偏导
2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
z 20 x2 10x 2 y2 5 y ，
且商品售价为5,求最大利润. 解 利润函数为
L( x, y) 5(20 x2 10x 2 y2 5 y) 2x y
9
L( x, y) 5(20 x2 10x 2 y2 5 y) 2x y
11 5x2 48x 10 y2 24 y ，
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出AC B2 的符号，再判定是否是极值.
5
例 求函数 f ( x, y) x3 y3 3x2 3 y2 9x 的极值.
例 设两种产品的需求量Q1 ,Q2 分别为Q1 24 0.2 p1 ， Q2 10 0.05 p2 ( p1 , p2 为其价格),总成本为 C 35 40(Q1 Q2 ) ,问如何定价，才能获取最大利润？
解： L( p1 , p2 ) p1Q1 p2Q2 C(Q1 , Q2 )
约束条件：V xyz , z V ， z xy
代入目标函数,化为无条件极值问题： x y
12
目标函数化为： S 2( xy V V ) , x 0, y 0 xy
令
Lx
Ly
10x 20x
48 24
0， 0
解得惟一驻点
x 4.8, y 1.2，
A f xx 10 , B f xy 0 , C f yy 20 ,
AC B2 0 , A 0 , 惟一驻点为极大值点，
即为最大值点，
最大利润为 L(4.8,1.2) 229.6 .
10
解
令
f x 3 x2 6 x 9 0
f
y
3
y2
6
y
0
x 3, 1 y 0, 2
求得驻点：(3,0),(1,0),(3,2),(1,2) ,
二阶偏导数为： fxx 6x 6, fxy 0, f yy 6y 6 ,
A B C AC B2
f
(3, 0) 12 0 6
无极值
(1, 0) 12 0 6