第二讲：电场强度的叠加原理及电场强度的计算
容：§9－3
电场强度的求法
要求：
1．理解场强叠加原理；
2．掌握用积分的方法计算电场强度。

重点与难点：
1．电场强度及其计算。

作业：
习题：P37：9，11
预习：电场强度的叠加原理
四、电场强度叠加原理
1．点电荷的场强：电荷Q ，空间r 处
2
04r r
Q q F E ＝ 2．点电荷系：
在点电荷系Q 1，Q 2，…，Q n 的电场中，在P 点放一试验电荷q 0，根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为
i F F
，因而P 点的电场强度为
i i
i E q
F q
F q
F E
＝
即 3
04r
r
Q E E i i ＝＝ 点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时在该点的场强的矢量和。

这就是电场强度的叠加原理。

3．连续分布电荷激发的场强
将带电区域分成许多电荷元d q ，则
2
04r r dq E d E ＝
其中，对于电荷体分布，d q =ρd v ， v r r
dv E 0
204
＝
对于电荷面分布，d q =σds ，02
04r r ds E s
＝ 对于电荷线分布，d q =λd l ， l r r
dl E 0
204
＝
其中体密度 dV dQ V
Q V lim 0＝
单位C/m 3
； 面密度 dS dQ S
Q S lim 0＝
单位C/m 2；
线密度 dl dQ
l
Q l lim 0＝ 单位C/m 。

五、
电场强度的计算：
1．离散型的： 3
04r r
Q E E i i ＝＝ 2．连续型的：
2
04r r dq E d E
＝
空间各点的电场强度完全取决于电荷在空间的分布情况。

如果给定电荷的分布，原则上就可以计算出任意点的电场强度。

计算的方法是利用点电荷在其周围激发场强的表达式与场强叠加原理。

计算的步骤大致如下：
● 任取电荷元d q ，写出d q 在待求点的场强的表达式；
● 选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式； ● 进行积分计算；
● 写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向； ● 在计算过程中，要根据对称性来简化计算过程。

例1． 电偶极子（Electric Dipole ）的场强。

1. 几个概念：
（1）两个电量相等、符合相反、相距为l 的点电荷+q 和-q ，若场点到这两个电荷的距离比l 大得多时，这两个点电荷系称为电偶极子。

（2）从-q 指向+q 的矢量l
称为电偶极子的轴。

（3）l q p
称为电偶极子的电偶极矩
2. 电偶极子的电场强度
（1）电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
如图所示，取电偶极子轴线的中点为坐标原点O ，沿极轴的延长线为O x 轴，轴上任意点A 距原点的距离为x ，则正负电荷在点A 产生的场强为
i l x q
E 2
02/41
i l x q E 2
02/41
由叠加原理可知点A 的总场强为
i l x xl
q
i l x q l x q E E E
2220
2204/242/2/41 ＝＋－＋＝－ 当x >>l 时，2
224/x l x
所以3
030241241x p
i x lq E
＝
即：在电偶极子轴线延长线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比，
与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比；电场强度的方向与电偶极矩的方向相同。

（2）电偶极子轴线的中垂线上一点的电场强度
如图所示，取电偶极子轴线中点为坐标原点，因而中垂线上任意点的场强为
3
04
r r q E 和
3
04－
－
－－r r q E 从图中可以看出
j y i l r
2
j y i l r 2
22)2/(l y r r r
所以
j y i l r q
E 2430
j y i l r q
E
2430 因而总的场强为
2
/32202/322030
30441441 2424
l y p l y i ql j y i l r q j y i l r q
E E E
－
＝－－＋＝
当y >>l 时， 22
22/y l y 故
3
041y p
E －
即：在电偶极子中垂线上任意点的电场强度的大小与电偶极子的电偶极矩大小成正比，与电偶极子中心到该点的距离的三次方成反比；电场强度的方向与电偶极矩的方向相反。

例2．试计算均匀带电圆环线上任一给定点P 处的场强。

该圆环半径为R ，周长为L ，圆环
带电量为q ，P 点与环心距离x 。

解：在环上任取线元d l ，其上电量为 dl L
q dl dq
P 点与d q 距离r ，d q 与P 点所产生场强大小为
2
0204141
r
dl L q r dq dE
方向如图所示。

把场强分解为平行与环心轴的分量dE //和垂直于环心轴的分量dE ⊥，则由于对称性可知，垂直分量互相抵消，因而总的电场为平行分量分总和：
cos //dE dE E
其中θ为E d
与x 轴的夹角。

积分上式，有
2
0202
0204cos cos 41
cos 41 cos 41r q L r L q dl r L q r dl L q E
因为 cos θ=R/r
2
3
2
2
03
0)
(44 x R qx r
qx E
当x>>R 时，32
32
2
)
(x x R 则 2
04x q E
则环上电荷可看作全部集中在环心处的一个点电荷。

例3．薄圆盘轴线上的场强。

设有一
半径为R 、电荷均匀分布的薄圆盘，其电荷面密度为σ。

求通过盘心、垂直与盘面的轴线上任一点的场强。

解：把圆盘分成许多半径为r 、宽度
为d r 的圆环，其圆
环的电量为
d q=σds =σ2πr d r
它在轴线x 处的场强为 2
/32202/3220)(2)(4 r x xrdr
r x xdq dE
由于圆盘上所有的带电的圆环在场点的场强都沿同一方向，故带电圆盘轴线的场强为
2
2
2
2/3
2
2
1
1
2
)
(
2R
x
x
x
r
x
xrdr
E
R
＝
如果x<<R，即圆盘为无穷大的均匀带电平面，则
2
2
2
2
1
1
1
x
R
x
x
于是电场强度为
2
＝
E
讨论：
如图。

布，为匀强电场，方向
带电平板附近的电场分
为无限大均匀
，则
时，
）当
（,
2
1
2
2
E
x
R
x
R
x
如果将两块无限大平板平行放置，板间距离远小于板面线度，当两板带等量异号电荷，面密度为σ时，两板侧场强为：
2
2
B
A
E
E
E
两板外侧场强为：
B
A
E
E
E
（2）
于是有
时，
当,
2
1
1
1
2
2
2
1
2
2
x
R
x
R
R
x
2
2
2
4
2
1
1
2x
q
x
R
E。

电荷在该处产生的电场
心的点
场相当于电荷集中于盘
在远离带电平板处的电
上式表明，
为圆盘面所带总电量。

式中2R
σ
q
（3）均匀带电薄圆环的轴线上任一点的场强分布。

或无
限大均匀带电平板的中间有一圆孔的情况。

例4．若电荷均匀地分布在球面上，求球面上某点的电场强度。

解：已知圆环电荷在其几何轴线上产生的电场强度为
2
3
2
2
)
(
4
r
x
R
qx
E
设电荷Q 均匀分布在半径为R 的球面上，求P 点的电场强度。

过P 作直径，在作垂直于该直径的把球面分成无穷多个圆环，圆环所带的电量为
d R dq sin 22
其中 2
4/R Q 在P 点产生的电场强度为
cos 122sin 2cos sin cos 402
/32
20
d R R R R dq dE
积分
2
000
082cos 122cos 1sin 24R
Q
d E
方向：沿轴线方向。

● 电场强度叠加原理 ● 电场强度的计算。