第一章习题详解1． 求下列复数z 的实部与虚部，共轭复数、模与辐角： 1)i231+ 解：()()()132349232323231231ii i i i i -=+-=-+-=+实部：133231=⎪⎭⎫⎝⎛+i Re 虚部：132231-=⎪⎭⎫⎝⎛+i Im共轭复数：1323231ii +=⎪⎭⎫⎝⎛+ 模：1311323231222=+=+i辐角：πππk arctg k arctg k i i Arg 23221331322231231+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+arg 2) ii i --131 解：()()()2532332113311131312i i i i i i i i i i i i i i -=-+-=++---=+-+-=--实部：23131=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Re 虚部：25131-=⎪⎭⎫⎝⎛--i i i Im共轭复数：253131i i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛-- 模：234434253131222==+=--iii 辐角：πππk arctg k arctg k i i i i i i Arg 235223252131131+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--arg3)()()ii i 25243-+解：()()()22672267272625243ii ii ii i --=-+=--=-+ 实部：()()2725243-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Re虚部：()()1322625243-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+i i i Im 共轭复数：()()226725243ii i i +-=⎪⎭⎫⎝⎛-+ 模：()()2925226272524322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ii i辐角：()()ππk arctg k arctg i i i Arg 272622722625243+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+ 4) i ii +-2184解：i i i i ii 31414218-=+-=+-实部：()14218=+-i i i Re 虚部：()34218-=+-i ii Im共轭复数：()i i i i 314218+=+- 模：1031422218=+=+-i ii辐角：()()πππk arctg k arctg k i i i i ii Arg 23213244218218+-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=++-=+-arg2． 当x 、y 等于什么实数时，等式()i iy i x +=+-++13531成立？解：根据复数相等，即两个复数的实部和虚部分别相等。

有：()()()i i i y i x 8235131+=++=-++⎩⎨⎧=-=+8321y x ⎩⎨⎧==⇒111y x 即1=x 、11=y 时，等式成立。

3． 证明虚数单位i 有这样的性质：i i i ==--1证明：i i i i i-===-211 i i i i -=-=+=00 i i i ==-∴-14． 证明 1) z z z=2证明：设iy x z +=，则iy x z -=()()2222222y xyx iy x z +=+=+=∴()()22y x iy x iy x z z +=-+=z z z =∴22) 2121z z z z ±=±证明：设111iy x z +=，222iy x z +=，则有：()()()()()()21212121221121y y i x x y y i x x iy x iy x z z ±-±=±+±=+±+=± ()()()()()()21212211221121y y i x x iy x iy x iy x iy x z z ±-±=-±-=+±+=± 2121z z z z ±=±∴3) 2121z z z z = 证明：设111θi er z =，222θi er z =，则有：()()21212121212121θθθθθθ+-+===i i i i e r r e r r e r e r z z ()21212121212121θθθθθθ+---==•=i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 4) 022121≠=⎪⎪⎭⎫⎝⎛z z z z z , 证明：设111θi e r z =，222θi er z =，则有：()()21212121212121θθθθθθ---===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i i i e r r e r r e r e r z z()21212121212121θθθθθθ----===i i i i i e r r e r e r e r e r z z 2121z z z z =∴ 5) z z =证明：设iy x z +=，则有z iy x iy x iy x z =+=-=+=6) ()()()()z z iz z z z -=+=2121Im ,Re 证明：设iy x z +=，则iy x z -=()()()z x iy x iy x z z Re ==++-=+2121 ()()()[]()()z y y i iiy x iy x i z z i Im ===--+=-2212121 5． 对任何22,z z z =是否成立？如果是，就给出证明。

如果不是，对哪些z 值才成立？ 解：设iy x z +=，则有：()22222y xyi x iy x z -+=+= ()()22222y x iy x iy x z+=+=+=22z z = ⎩⎨⎧=-=+∴022222xy y x y x ⇒ 0=y故当0=y ，即iy x z +=是实数时，22z z =成立。

6． 当1≤z 时，求a z n +的最大值，其中n 为正整数，a 为复数。

解：a z a za z nnn+=+≤+1≤z 1≤∴nz ⇒ a a z n+≤+1 即a a z n +≤+1a z n+的最大值是a +17． 判定下列命题的真假： 1) 若c 为实常数，则c c =；解：真命题。

因为实数的共轭复数就是它本身。

2) 若z 为纯虚数，则z z ≠；解：真命题。

设()0≠=y iy z ，则iy z -=，显然z z ≠。

3) i i 2<；解：假命题。

两个不全为实数的复数不能比较大小。

4) 零的幅角是零解：假命题。

复数0的幅角是任意的，也是无意义的。

5) 仅存在一个数z ，使得z z-=1； 解：假命题。

有两个数i z i z -==,，使z z-=1成立。

6) 2121z z z z +=+；解：假命题。

设有两个数i z i z -==21,，使2121z z z z +=+不成立。

7)iz z i=1解：真命题。

iz z i z i=-=18． 将下列复数化为三角表示式和指数表示式： 1) i解：1==i r ，()2π=i arg222πππie i i =+=∴sincos2) 1-解：11=-=r ，()π=-1arg πππi e i =+=-∴sin cos 1 3) 31i +解：231=+=i r ，()31331π==+arctgi arg 33331πππie i i =+=+∴sincos4) ()πϕϕϕ≤≤+-01sin cos i 解：()ϕϕϕϕϕϕϕ22222111sin cos cos sin cos sin cos +-+=+-=+-=i r()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-=-=22122212122222ϕϕϕϕϕϕsin cos cos cos cos22242212222ϕϕϕϕsin sin sin cos ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=()22211ϕπϕπϕϕϕϕϕ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=+-tg arctg arcctg arctg arctgi cos sin sin cos arg ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-∴22222221ϕπϕϕπϕπϕϕϕi e i i sin sin cos sin sin cos另：222222222112ϕϕϕϕϕϕϕϕϕcos sin sin sin cos sin cos i i i +=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+-=+-22222222222ϕπϕϕπϕπϕϕϕϕ-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=iei i sin sincossin cos sin sin另：()()ϕϕϕϕϕϕsin sin cos cos sin cos sin cos sin cos ++-=+-+=+-00001i i i i22222222*********ϕπϕϕϕϕϕϕϕϕ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++-+-=iei i sin cos sin sin cos sin sin sin5)ii+-12解：()i ii i i i -=-=--=+-12222121221=-=i r ，()()4111π-=-=-=-arg arg arg i424421πππi e i i -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴sin cos6)()()323sin 3cos 5sin 5cos ϕϕϕϕi i -+解：()()ϕϕϕϕ1025255i i e e i ==+sin cos()()()[]()i i e e i i ϕϕϕϕϕϕ933333333--==-+-=-sin cos sin cos ()()()()ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ191933551991032sin cos sin cos sin cos i e ee i i i i i +===-+∴- 9． 将下列坐标公式写成复数的形式：1) 平移公式：⎩⎨⎧+=+=1111b y y a x x解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：()()1111ib a iy x iy x +++=+即：A z z +=1 2) 旋转公式：⎩⎨⎧+=-=ααααcos sin sin cos 1111y x y y x x解：将方程组中的第二个方程乘以虚数单位加到第一个方程，得：()()11111111ix y iy x iy y ix x iy x --+=+-+=+ααααααsin cos cos sin sin cos ()()()()()11111111iy x i iy x ix y i i iy x +++=---+=ααααsin cos sin cos ()()()αααi e iy x i iy x 1111+=++=sin cos ()αααi e z i z z 11=+=∴sin cos10． 一个复数乘以i -，它的模与辐角有何改变？ 解：设θi re z = 2πiei -=-⎪⎭⎫ ⎝⎛--==-∴22πθπθi ii ree re iz即：一个复数乘以i -，它的模不变，辐角减小2π。