函数的对称性
一、选择题 1 ．如果函数p
x nx y ++=
21
的图象关于点A(1,2)对称,那么
（ ）
A ．p=-2,n=4
B ．p=2,n=-4
C ．p=-2,n=-4
D ．p=2,n=4
【答案】A
2 ．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）函数
()f x 对任
意()()()()623,1x R f x f x f y f x ∈++==-都有的图象关于点()1,0对称,则
()2013f =
（ ）
A ．16-
B ．8-
C ．4-
D ．0
【答案】D
3 ．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）已知函数
a x x x f --+=1)(的图像关于点)0,2
1
(对称,则a =
A,1 B,-1 C,2 D,-2 【答案】C
4 ．（山东省广饶一中二校区2014届高三上学期10月月考数学（理）试题）为了得到函数
x y )31(3⨯=的图象,可以把函数x y )3
1
(=的图象
（ ）
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度
【答案】D
二、填空题
5 ．（山东省枣庄市滕州一中2014届高三10月第一次单元测试数学（理）试题）已知定义在
R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称,且满足3()()2
f x f x =-+,又
(1)1f -=,(0)2f =-,则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++=L ________
【答案】1
6 ．（山东省威海市乳山一中2014届高三上学期第一次质量检测数学试题）设f(x)是定义在R
上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=1
2
对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=________.
【答案】0
7 ．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数
()f x 是(,)
-∞+∞
上的奇函数,且()f x 的图象关于直线1x =对称,当[1,0]x ∈-时,()f x x =-,则
(2013)(2014)f f +=______________.
【答案】1-
8 ．（山东省聊城市东阿一中2014届高三10月模块测试数学（理）试题）设函数
c bx x x x f ++=)(,给出四个命题:
①0=c 时,有)()(x f x f -=-成立;
②c b ,0=﹥0时,函数y =()f x 只有一个零点; ③)(x f y =的图象关于点(0,c )对称; ④函数()y f x =,至多有两个不同零点.
上述四个命题中所有正确的命题序号是____________. 【答案】(1)(2)(3)
三、解答题
9 ．（山东省文登市2014届高三上学期期中统考数学（理）试题）已知函数()y f x =
和()
y g x =的图象关于y 轴对称,且2
()242f x x x =+-. (Ⅰ)求函数()y g x =的解析式; (Ⅱ)解不等式
()()
|21|2
f x
g x x +<-
【答案】解:(Ⅰ)设函数()y g x =图象上任意一点(,)P x y ,由已知点p 关于y 轴对称点
'(,)P x y -一定在函数()y f x =图象上,
代入2
242y x x =+-,得()g x =2
242x x --
(Ⅱ)
()()
|21|2
f x
g x x +<-
方法12
22|21|x x ⇔-<-22221210x x x ⎧-<-⇔⎨-≥⎩或22212210x x
x ⎧-<-⎨-<⎩
112212x x ⎧-<<⎪⎪⇔⎨⎪≥⎪⎩
或112212
x x ⎧--<<⎪⎪⎨
⎪<
⎪⎩
1122x ≤<
或1122
x -<<
∴
不等式的解集是x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭
方法2:
()()
|21|2
f x
g x x +<-等价于22122x x ->-或22122x x -<-
解得
1122x +<<
或1122
x --+<<
所以解集为11{|
}22
x x -+<< 10．（山东省滨州市北镇中学2014届高三10月阶段性检测数学（理）试题）已知函数f (x )和
g (x )的图象关于原点对称,且x x x f 2)(2+=
(1)求函数)(x g 的解析式;
(2)解不等式g (x )≥f (x )-|x -1|;
(3)若h (x )=g (x )-λf (x )+1在[-1,1]上是增函数,求实数λ的取值范围.
【答案】解:(Ⅰ)设函数()y f x =的图象上任意一点()00,Q x y 关于原点的对称点为
(),P x y ,则
000
0,,2
.0,2
x x
x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⎨
⎨+=-⎩⎪=⎪⎩即 ∵点()00,Q x y 在函数()y f x =的图象上
∴()2
2
2
22,2y x x y x x g x x x -=-=-+=-+，即 故
(Ⅱ)由()()2
1210g x f x x x x ≥----≤， 可得
当1x ≥时,2
210x x -+≤,此时不等式无解 当1x <时,2
210x x +-≤,解得112
x -≤≤ 因此,原不等式的解集为11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
(Ⅲ)()()()21211h x x x λλ=-++-+
①()[]1411,1h x x λ=-=+-当时，在上是增函数，
1λ∴=-
②11.1x λ
λλ
-≠-=
+当时，对称轴的方程为 ⅰ)111, 1.1λ
λλλ-<-≤-<-+当时,解得
ⅱ)111,10.1λ
λλλ
->-≥--<≤+当时,解得
0.λ≤综上，
11．（山东省（中学联盟）济宁一中2014届高三10月月考数学（理）试题）已知真命题:“函
数()y f x =的图象关于点( )P a b 、成中心对称图形”的充要条件为“函数
()y f x a b =+- 是奇函数”.
(1)将函数3
2
()3g x x x =-的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数()g x 图象对称中心的坐标; (2)求函数2
2()log 4x
h x x
=- 图象对称中心的坐标; 【答案】解:(1)平移后图象对应的函数解析式为:3
2
(1)3(1)2y x x =+-++,
整理得33y x x =-,由于函数3
3y x x =-是奇函数, 由题设真命题知,函数()g x 图象对称中心的坐标是(1 2)-，. (2)设2
2()log 4x
h x x
=-的对称中心为( )P a b ，
,由题设知函数()h x a b +-是奇函数. 设()(),f x h x a b =+-则2
2()()log 4()x a f x b x a +=--+,即222()log 4x a
f x b a x
+=---.
由不等式
2204x a
a x
+>--的解集关于原点对称,得2a =.
此时22(2)
()log (2 2)2x f x b x x
+=-∈--，，.
任取(2,2)x ∈-,由()()0f x f x -+=,得1b =, 所以函数2
2()log 4x
h x x
=-图象对称中心的坐标是(2 1)，
.。