基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减；命题:q a m ≤，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则m 的取值范围为（ ） A ．25m <-B ．3m ≤-C ．25m >-D ．65m ≥-2．在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到12之间的概率为（ ）A ．13 B ．2πC ．12D ．233．有不同的语文书9本，不同的数学书7本，不同的英语书5本，从中选出不属于同一学科的书2本，则不同的选法有A ．21种B ．315种C ．153种D ．143种4．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12,则抽取的学生总人数是（ ）A ．12B ．24C ．48D ．565．设0a >，0b >，则“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知某批零件的长度误差ξ(单位:毫米)服从正态分布2(1)3N ，，从中随机取一件.其长度误差落在区间(4)7，内的概率为（ ）(附:若随机变量ξ服从正态分布N 2(,)μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+≈，(22)95.44%P μσξμσ-<<+≈)A ．4. 56%B ．13.59%C ．27. 18%D ．31. 74%7．若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．给出一个命题p ：若,,,,1,1a b c d a b c d ∈+=+=R ，且1ac bd +>，则a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零，在用反证法证明p 时，应该假设（ ） A ．a ，b ，c ，d 中至少有一个正数 B ．a ，b ，c ，d 全为正数C ．a ，b ，c ，d 全都大于或等于0D ．a ，b ，c ，d 中至多有一个负数9．若函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为（ ） A ．()2,2-B ．(]0,2C ．(]2,0-D ．[)0,210．已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，且(1)0f -=，若对任意的(0,)x ∈+∞，都有'()()x f x f x ⋅>成立，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．(1,0)(1,)B ．(1,0)(0,1)-C ．(,1)(0,1)-∞-D ．(,1)(1,)-∞-+∞11．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（ ）．A ．12.25%B ．11.25%C ．10.25%D ．9.25%12．已知()f x 是定义在[2,1]b b -+上的偶函数，且在[2,0]b -上为增函数，则(1)(2)f x f x -≤的解集为（ ） A ．2[1,]3-B ．1[1,]3-C ．[1,1]-D ．1[,1]3二、填空题：本题共4小题13．已知212()log (3)f x x ax a =－＋在区间[2，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是______. 14．命题“2000,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围是 .15．已知函数()f x 对任意的x ∈R 都有20192019()()0,(1)f x f x f e '-+<=，那么不等式2019()xf x e ->的解集为_________。

16．复数11iz =+（i 为虚数单位），则||z =________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设全集为2,{|0},{|28}4x xR A x B x x -=≥=≥-.（Ⅰ）求A ⋃（R C B ）；（Ⅱ）若{|24},C x a x a A C A =-≤≤+⋂=，求实数a 的取值范围. 18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()2f x x =．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）解不等式()2(1)xf f <．19．（6分）已知复数z 满足：234z i =+，且z 在复平面内对应的点位于第三象限. （I ）求复数z ；（Ⅱ）设a R ∈，且2019121z a z +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求实数a 的值.20．（6分）已知曲线C 的参数方程为23cos ,3sin x t y t=+⎧⎨=⎩（t 为参数）.以x 轴正半轴为极轴，以坐标原点为极点建立极坐标系，点P 的极坐标为(6,)π-，过点P 的直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点. （1）若直线l 的斜率1k =，求直线l 的极坐标方程和曲线C 的普通方程； （2）求PM PN ⋅的值.21．（6分）某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形ABCD ，其外周长为100毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设AD 的长为2x 毫米.（注：34,3k V R V Sh π==柱，其中R 为球半径，S 为圆柱底面积，h 为圆柱的高）（1）求容器中防蚊液的体积y 关于x 的函数关系式； （2）如何设计AD 与AB 的长度，使得y 最大？22．（8分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A A +=30，27a =b=2. （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求△ABD 的面积.参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．A 【解析】 【分析】由题意可得当0a =时不成立，当0a ≠时，满足()04132a a a <⎧⎪+⎨-≤⎪⎩求出a 的范围，从而求出p ⌝，再求出q ⌝，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，即可求解. 【详解】由命题2:()4(1)3p f x ax a x =++-在[3,)+∞上递减， 当0a =时，()43f x x =-，不满足题意，当0a ≠时，则()241532a a a a <⎧⎪⇒≤-+⎨-≤⎪⎩， 所以p ⌝：25a >-， 由命题:q a m ≤，则q ⌝：a m >， 由因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， 所以25m <-. 故选：A 【点睛】本题考查了由充分不必要条件求参数的取值范围以及考查了二次函数的图像与性质，同时考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题. 2．A 【解析】 因为[,]22x ππ∈-,若1cos [0,]2x ∈,则[,][,]2332x ππππ∈--⋃, ()21233()22P ππππ-⨯∴==--，故选A.3．D【解析】由题意，选一本语文书一本数学书有9×7=63种，选一本数学书一本英语书有5×7=35种， 选一本语文书一本英语书有9×5=45种， ∴共有63+45+35=143种选法. 故选D. 4．C 【解析】试题分析：根据题意可知，第1,3组的频数为6,18，前3组的频率和为()10.01250.037550.75-+⨯=，所以抽取的学生总人数为61218480.75++=，故选C.考点：频率分布直方图与频数． 5．A 【解析】 【分析】由lg()0ab >，可推出1ab >，可以判断出,a b 中至少有一个大于1.由lg()0a b +>可以推出1a b +>，,a b 与1的关系不确定，这样就可以选出正确答案.【详解】因为lg()0ab >，所以1ab >，0a >，0b >，显然,a b 中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符.由lg()0a b +>，可得1a b +>，,a b 与1的关系不确定，显然由“lg()0ab >”可以推出lg()0a b +>，但是由lg()0a b +>推不出lg()0ab >，当然可以举特例：如23a b ==，符合1a b +>，但是不符合1ab >，因此“lg()0ab >”是“lg()0a b +>”的充分不必要条件，故本题选A.【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，由1ab >，0a >，0b >，判断出,a b 中至少有一个大于1，是解题的关键. 6．B 【解析】 【分析】利用3σ原则，分别求出(24),(57)P P ξξ-<<-<<的值，再利用对称性求出(47)13.59%P ξ<<=. 【详解】正态分布2(1)3N ，中，1,3μσ==，所以(24)(1313)68.26%P P ξξ-<<=-<<+≈，(57)(123123)95.44%P P ξξ-<<=-⨯<<+⨯≈，所以(57)(24)(47)13.59%2P P P ξξξ-<<--<<<<=≈，故选B.【点睛】本题考查正态分布知识，考查利用正态分布曲线的对称性求随机变量在给定区间的概率. 7．B 【解析】 【分析】先根据已知得出1,1a b --的符号及(1)(1)a b --的值，再根据基本不等式求解. 【详解】 ∵110,0,1a b a b>>+= ； ∴1,1,a b a b ab >>+=∴140,011a b >>--∴1442411(1)(a b a +==--- 当且仅当1411a b =--，即3,32a b ==时，等号成立. 故选B. 【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”. 8．C 【解析】 【分析】由“a b c d ,,,中至少一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”即可求解. 【详解】因为“a ，b ，c ，d 中至少有一个小于零”的否定为“a b c d ,,,全都大于等于0”, 所以由用反证法证明数学命题的方法可得,应假设“a b c d ,,,全都大于等于0”, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了反证法，反证法的证明步骤，属于容易题. 9．D 【解析】【分析】先设()33g x x x =-+，02x ≤<，则函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点等价于直线y a =与函数()g x 的图像有两个交点，再求函数()g x 的单调性判断即可得解. 【详解】解：由()0f x =得33a x x =-+， 设()33g x x x =-+，02x ≤<，则函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点等价于直线y a =与函数()g x 的图像有两个交点，又()'233g x x =-+，当01x ≤<时，()'0g x >；当12x <<时，()'0g x <. 则函数()g x 在[)0,1为增函数，在()1,2为减函数， ∴()()max 12g x g ==， 又()00g =，()22g =-，又函数()33f x x x a =-+在[)0,2上有2个零点，则a 的取值范围为[)0,2. 故选：D. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了函数的零点个数与函数图像交点的个数问题，属基础题。