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1 优化工具箱的工程应用步骤




用MATLAB 6.5优化工具箱解决实际工程应 用问题可概括为以下3个步骤： 根据所提出的最优化问题，建立优化问题的 数学模型，确定变量，列出约束条件和目标 函数； 对所建立的模型进行具体分析和研究，选择 合适的最优化求解方法； 根据最优化方法的算法，列出程序框图、选 择优化函数和编写语言程序，用计算机求解。
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fval：返回目标函数在最优解x点的函数值： Exitflag：返回算法的终止标志。Exitflag>0 表示算法因求得了最小值而停止； Exitflag=0表示算法因迭代次数越限而停止； Exitflag<0表示算法因函数值发散而停止； Output：是一个返回优化算法信息的结构， 它的成员iterations返回迭代的次数。 funCount返回算法中函数估汁值的数目， algorithm使用的算法。
2 线性规成要素：(1) 决策变量，指决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量：(2) 目标函数，指问题要达到的目的要求，表示 为决策变量的函数；(3)约束条件，指决策 变量取值时受到的各种可用资源的限制，表 示为含决策变量的等式或不等式。如果在规 划问题的数学模型中，决策变量为可控的连 续变量，目标函数和约束条件都是线性的， 这类模型称为线性规划问题的数学模型。
主程序
结果输出

fsemcnf函数

quadprog函数

fminmax函数
5 多目标规划

多目标最优化问题的最早出现，应追溯到 1972年，Franklin提出了多目标问题矛盾如 何协调的问题。但国际上一般认为多目标最 优化问题是由法国经济学家V. Pareto在 1896年提出的，当时从政治经济学角度提出 多目标最优决策问题。1938年，Cournot从 经济学的角度提出了多目标问题的模型； 1944年，Von Neumann等人从对策论（博 弈论）的角度，提出具有多个决策者、而又 有彼此互相矛盾的多目标决策问题。



goal：代表函数fun要逼近的目标值，是一 个向量，它的维数大小等于目标函数fun返 回向量F的维数大小。fgoalattain的优化过 程就是使得F逼近goal； weight：代表给定的权值向量，用于控制目 标逼近过程的步长； nonlcon：函数由每一个输入变量x计算出c 和ceq，用于估计给定x点的非线性不等式 c(x)≤0和非线件等式ceq(x)=0。nonlcon可以 是一个函数句柄,含义同“myfun”。
第2-2章 MATLAB辅助优化计算
MATLAB优化工具箱函数选用 工程优化算法及MATLAB实现
2.1 MATLAB优化工具箱函数选用



MATLAB 6.5中的优化工具箱(Optimization Toolbox)中含有一系列的优化算法函数，这 些函数拓展了MATLAB 6.5数字计算环境的 处理能力，可以用于解决以下工程实际问题： ● 求解无约束条件非线性极小值； ● 求解约束条件非线性极小值，包括目标逼 近问题、极大－极小值问题，以及半无 限极 小值问题；


具体的参数含义如下： fun：代表要优化的目标函数，它的变量为 向量x、返回庄x点处向量值F 。在实际编程 中，fun可以有两种形式：
● 一是fun为一个函数句柄，如
x=fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight)，其 中myfun是用户自定义的MATLAB函数， 即： function F=myfun(x) F＝…％计算函数在x点的值。 ●二是fun为一个内联对象(inline object）。如 x=fgoalattain(inline('sin(x)'), x0, goal, weight)；

1951年，T. C. Koopman从生产和分配的的 活动分析中，提出了多目标最优化问题，并 正式使用Pareto最优概念。同年，H. W. Kuhn和A. W. Tucher从数学规划的角度， 提出向量极值的Pareto最优概念，并给出了 有效解的充分必要条件。1963年，L. A. Zadeh又从控制论的角度，提出了多准则问 题。1968年，Z. Johnsen系统地提出了关于 多目标决策模型的研究报告，这是多目标最 优化这门学科开始发展的一个转折点。

多目标规划的一般形式为

或者记为

求解多目标规划的最基本方法为评价函数法 评价函数法的基本思想是：借助于几何或应 用中的直观背景，构造所谓的评价函数，从 而将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 然后利用单目标优化的求解方法求出最优解， 并把这种最优解当作多目标规划的最优解。

在MATLAB 6.5优化工具箱中，用于求解多 目标最优化问题的函数有：fgoalattain，用 法介绍如下。


在MATLAB 6.5优化工具箱中．用于求解无 约束非线性规划的函数有：fminsearch和 fminunc，用法介绍如下。 fminsearch函数

【工程应用背景】

【实例分析】
m文件
主程序
结果输出

fminunc函数

【工程应用背景】

【实例分析】
m文件
主程序
结果输出
注意：求解无约束条件下多变量函数的最小值 fminsearch函数和fminunc函数意义相同。
4 约束最优化

由于线性规划和二次规划问题都比较容易求解、 所以人们很自然地想到：把要求解的一般非线性 约束优化问题线性化．然后用线性规划来逐步求 其近似解．这种方法称为线性逼近法或序列线件 规划法(SLP)。但是线性逼近法的精度差，收敛速 度慢，而近二十年二次规划的解法得到很大发展， 有了比较有效的算法，因此近十年来用二次规划 的方法即序列二次规划法获得了突出的进展，成 为当前世界上—最流行的重要的约束优化算法之 一。

规定线性规划的标准型为

上述线性规划问题可简写为

对于标准形式的线性规划的可行解等价于线 性方程组Ax=b的非负解。

在MATLAB 6.5优化工具中，用于求解线性 规划的函数节有linprog，用法如下
例
程序
结果输出
3 无约束非线性规划

线性规划的目标函数和约束条件部是其自变 量的线性函数，如果目标函数或约束条件中 包含自变量的非线性函数，则这样的规划问 题就属于非线性规划。有些实际问题可以表 达成线性规划问题，但有些实际问题则需用 非线性规划的模型来表达，借助于非线性规 划的解怯来求解。有约束问题与无约束问题 是非线性规划的两大类问题，它们在处理方 法上有明显的不同。


求解一次规划和线性规划问题； ● 非线性最小二乘逼近和曲线拟合： ● 非线性系统的方程求解； ● 约束条件下的线性最小二乘优化； ● 求解复杂结构的大规模优化问题。 说明：优化工县箱中的所有函数都对应于一 个MATLAB 6.5的-M文件，这些-M文件通 过使用MATLAB 6.5的基本语句实现了具体 的优化算法。

options：设置优化选项参数，具体意义解 释如下：
Display 设置显示算法返回值的类别，“off”表示 不实现结果，“iter”表示每次迭 代都显示返回 值，“final”表示只显示最后返回值； ● MaxFunEval：设置算法中函数估计的最大数目； ● MaxIter：设置算法迭代的最大次数； ● TolX：设置使算法终止的Δx值。
结 果 输 出

2 边界约束问题
分析：此问题在非线性约束的基础上增加了变量x
的边界条件，在fmincon函数输入参数中加上lb和ub 参数即可。
结 果 输 出

3 等式问题
结 果 输 出
习题-1
习题-2
习题-3
习题-4
习题-5
习题-6


1 非线性不等式约束
分析：这样的非线性约束优化问题可以用MATLAB
优化工具箱中的fminncon函数来求解．因为约束为非 线性约束，所以不可能将约束条件信息直接包含再函 数的输入参数中，必须编写函数返回在每一个点x处 的约束值，然后再调用优化函数fminncon；
另一方面，fminncon函数要求的约束条 件一般为c(x) ≤ 0，所以将约束改为：
2.2工程优化算法及MATLAB实现
在MATLAB 6.5优化工具箱中，针对无约束 优化问题， fminunc函数使用了拟牛顿法。 【范例分析】 考虑如下问题：求解x=[x1,x2]，使得

m文件
主程序
结 果 输 出

在MATLAB 6.5优化工具箱中，针对无约束 优化问题， fmincon、fminimax、 fseminf 和fgoalattain函数使用了SQP（Sequential Quadratic Programming）算法。 【范例分析】 这部分是有约束优化问题的几个例子，并给 出了详细的MATLAB源代码。


在MATLAB 6.5优化工具箱中．用于求解约 束最优化问题的函数有：fminbnd、 fmincon、 fsemcnf、quadprog和fminmax， 用法介绍如下。 fminbnd函数

【工程应用背景】

【实例分析】
m文件
主程序
结果输出

fmincon函数


【工程应用背景】
已知约束条件，求解函数f(x)的极小值，

其中x，b，beq，lb和ub均 是向量；A和Aeq是矩阵； c(x)和ceq (x)是返回值为向 量的函数；f(x)是一个返回 值为标量的函数；而且 c(x) ， ceq (x) 和f(x) 可以是非续性 函数。

【实例分析】