第八章 质点系动力学：矢量方法一、动量定理和动量矩定理 1 动量定理质点系内各质点动量的矢量和称为质点系的动量，即∑==ni i i m 1v p质点系动量定理：质点系动量对时间的一阶导数等于作用于质点系外力系的主矢：)e (Rd d F p =t， ∑=e )e (R i F F 质点系动量定理的微分形式：t d d )e (R F p =质点系动量定理的积分形式t t t d ,21)e (R )e ()e (12⎰==-F I I p p ，其中)e (I 为外力系主矢的冲量。
质点系的内力不能改变其总动量。
质点系的动量守恒：如果作用在质点系上的外力系主矢为零，则质点系的总动量守恒，即0p p =该常矢量由质点系运动的初始条件确定。
质点系动量定理在直角坐标系中的投影式为()()()()()()∑∑∑=========ni iz Rz z n i iy Ry y n i ix Rx x F F p t F F p t F F p t 1e e 1e e 1e e d d ,d d ,d d ， 如果0)e (R =x F ，则0x x p p =。
解题要领1） 动量定理给出的是质点系得动量变化与系统外力之间的关系，不涉及外力矩和外力偶，也不涉及内力，因此解决外力和质点系速度或加速度关系问题经常用动量定理. 2） 动量定理中涉及的动量都是绝对的，即涉及的速度都是绝对速度.3） 应用动量定理的微分形式是在某一瞬时，而积分形式或守恒情形是在一时间间隔. 4） 涉及一时间过程的速度变化，统称用动量定理的积分形式.5） 认清质点系统得动量是否守恒十分重要，它可以使方程降阶，简化计算过程.2 质心运动定理质点系的动量等于质心的动量 C ni ii mv m ==∑=1vp ，质心运动定理)e (R F a =C m质心运动守恒： 1） 如0)e (R=F ，则质心速度v C = v C 0 (常矢量)。
进一步，若00=C v ，则const r C =.2） 如0)e (Rx =F ，则质心速度0Cx Cx v v = (常量)。
进一步，若00=Cx v ，则const x C =.，质点系中各质点的绝对位移满足如下关系 0=∑iix m ∆.解题要领1）质心运动定理是质点系动量定理的又一表现形式，根据题意灵活选择是用质心运动定理还是质点系动量定理.2）质心的运动由外力的主矢决定.3）与质心运动定理相关的运动学量，如位移、速度和加速度都是绝对的.3 动量矩定理质点系对O 点的动量矩为i i ni i n i Oi O m v r L L ⨯==∑∑==11平移刚体对O 点的动量矩()v r v r v r L m m m C i i i i i O ⨯=⨯=⨯=∑∑)(.定轴转动刚体对转轴的动量矩ωz z J L =，式中J z = ∑ m i r 2i 称为刚体对轴z 的转动惯量。
质点系的动量矩定理)e (d d OO tM L =其中)e (O M 为外力系对固定点O 的主矩.直角坐标系坐标轴z y x ,,上的投影式Oz OzOy Oy Ox OxM tL M tL M tL ===d d ,d d ,d d ， 动量矩定理的微分形式t O O d d )e (M L =，式中t O d )e (M 为外力系主矩的元冲量矩。
动量矩定理的积分形式：⎰=-21d )e (12t t O O O t M L L ，其中M z = ∑M z (F i )为主动力对轴z 的矩。
两个平行轴z ，C z （质心轴）的转动惯量有如下关动量矩守恒：如果质点系所受外力对某一固定点O 的主矩为零，则质点系对O 点的动量矩保持不变，即0O O L L =.如果质点系所受外力对某一固定点的主矩不为零，但主矩在过该点的某一固定轴上的投影为零（比如x 轴），则质点系对此轴的动量矩保持不变，即0x x L L =.4 刚体绕定轴转动微分方程z z M J =α，其中z 为转动轴，2md J J Cz z +=，C z 为与转动轴平行的质心轴.物体对轴的回转半径 mJ zz =ρ. 解题要领1） 定轴转动微分方程数学形式与质点运动微分方程的弧坐标形式相似，因此，概念和应用可作类比，如质量和转动惯量的物理意义，定轴转动动力学的两类基本问题等. 2） 转动惯量的平行移轴公式中 C z 轴一定要是质心轴.5 质点系相对质心的动量矩定理质点系在质心平移坐标系中相对于质心的动量矩为)(1i i ni i Cm v r L '⨯'='∑=. 其中i v '为质点相对于质心的速度。
质点系对固定点的动量矩和对质心的动量矩的关系为CC C O m L v r L '+⨯= 其中OC r C =。
对质心的动量矩定理)e (d d CC tM L ='. 解题要领：1）对质心的动量矩定理与对固定点动量矩定理得形式相同，对刚体上其他动点，例如速度瞬心的动量矩定理一般就没有这一性质.2）对质心的动量矩定理只涉及外力而与内力无关. 当要计算物体系统的加速度、角加速度和力之间的关系时，可以用对质心的动量矩定理求解；通过积分也可以进一步求得速度或叫速度与力之间的关系.3）解题时，一般将对质心的动量矩定理和质心运动定理结合使用.6 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程Cz C ni iy C n i ix C M J F ym F x m ===∑∑==ϕ,,11. 其中C 为刚体的质心. 解题要领：1）解决刚体作平面运动时刚体上点的加速度或刚体角加速度与作用力的关系时，可以用刚体平面运动微分方程解决。
如果得到的结果不是瞬时值，而是时间的函数，则通过积分，还可以求得速度和角速度。
2）方程中C 点必须是质心.3）三个独立的方程来解刚体平面运动问题。
但是在具体应用时，经常遇到除了三个基本未知之外还存在其它未知量而使方程组变得不封闭的情况，此时需要从运动学寻找补充方程。
表达系统的独立运动学参数个数与系统得自由度相同。
二、动力学建模的动静法1 惯性力和达朗贝尔原理质点的惯性力：a F m -=I ，质点的达朗贝尔原理：质点运动的每一瞬时，作用在质点的主动力、约束力和惯性力在形式上构成一平衡力系。
质点系的达朗贝尔原理：质点系运动的每一瞬时，作用在每个质点上的主动力，约束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系 2 刚体惯性力系的简化(1) 平移刚体惯性力系的简化选取质心C 为惯性力的简化中心，则惯性力的主矢和主矩分别为C m a F -=IR ， 0I =C M(2) 平面运动刚体惯性力系的简化将惯性力系向质心C 简化，主矢为C i i m m a a F -=-=∑)(IR ，αM C C J -=I ，其中J C 为刚体对通过质心且垂直于质量对称平面的轴的转动惯量。
(3) 定轴转动刚体惯性力系的简化对于刚体有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面的定轴转动刚体，取转轴与质量对称平面的垂足O 为惯性力系的化中心，主矢和主矩为)(n t IR C C C m m a a a F +=-=， αM O O J -=I .解题要领1） 求解力与加速度的关系可以用达朗贝尔原理.2） 根据运动形式在研究对象上虚加惯性力，此惯性力不是物体受到的作用力.3） 因独立的运动学参数个数与系统得自由度相同，因此，常常还需根据约束情况建立运动学补充方程，方程组才封闭.3 定轴转动刚体的轴承动约束力惯性力系向点O 简化，其主矢和主矩分别为 ()()0,,IR 2IR 2IR =-=+=z C C y C C x F αx ωy m F αy ωx m F ，αωαωαz z xz yz y yz xz x J M J J M J J M -=+=-=I 2I 2I ,,，式中J z 为刚体对轴z 的转动惯量，∑∑==i i i yzii i xz z y m Jz x m J ,为刚体对轴x , z 和轴y , z的惯性积。
如果Jxz = Jyz = 0，则称z 为惯性主轴。
如果惯性主轴通过质心，则称为中心惯性主轴。
(1) 如果刚体有质量对称轴，则对称轴是一个惯性主轴，也是中心惯性主轴(2) 如果刚体有质量对称面，则垂直于对称面且原点在对称面上的坐标轴是惯性主轴。
刚体绕定轴转动时，轴承动约束力为零的充分必要条件是，刚体的转轴是中心惯性主轴。
静平衡是指除重力外，不受其它主动力作用，则刚体可以在任意位置静止不动.的现象. 动平衡是指转轴是中心惯性主轴时刚体转动时不会引起轴承动约束力的现象. 三、碰撞问题1 碰撞问题的两点简化： (1) 在碰撞过程中，非碰撞力忽略不计。
(2) 碰撞过程物体的位移忽略不计。
恢复因数：恢复冲量2I 与压缩冲量1I 的大小之比值，即12I I e =， 0=e 为完全塑性碰撞，1=e 为完全弹性碰撞，10<<e ，为弹性碰撞。
2 碰撞分类：(1) 碰撞前两物体碰撞接触点的速度v 1和v 2均沿碰撞法线方向n ，称为正碰撞，否则为斜碰撞。
(2) 如果碰撞时，两物体的质心在碰撞法线上，称为对心碰撞，否则为偏心碰撞。
3 碰撞时的冲量定理)(12e I p p =-式中p 1和p 2分别为质点系在碰撞前后的动量，I (e )为外碰撞冲量的矢量和。
4 碰撞时的冲量矩定理∑==-ni e i O O O 1)(12)(I M L L式中L O 1和L O2分别为质点系碰撞前后对固定点O 的动量矩，∑=ni e i O1)()(I M为外碰撞冲量对固定点O 的矩。
5 对质心的冲量矩定理∑==-ni e i C C C 1)(12)(I M L L .撞击中心到悬挂点的距离为 mdJ l O=，其中O J 为刚体对悬挂点的转动惯量，m 为质量，d 为质心到悬挂点的距离。
撞击中心和悬挂点是互为的。
解题要领1） 确定研究对象，即碰撞的两物体.2） 明确碰撞的类型，碰撞点在碰撞前后的速度变量. 3） 根据碰撞冲量定理和碰撞冲量矩定理建立碰撞动力学方程.4） 碰撞动力学方程一般不封闭，还需根据恢复因数定义和运动学关系建立补充方程.第八章 质点系动力学：矢量方法 习题解答8-1 一个质量为5 kg 弹头M 以水平速度v = 60 m/s 飞行，在D 处爆炸成位于同一水平面内如图示速度方向的两块碎片A 和B 。
已知碎片A 的速度大小v A = 90 m/s 。
试求：(1) 碎片A 的质量m A ；(2) 碎片B 的速度大小v B 。
解：取弹头M 为研究对象，弹头爆炸前后动量守恒 ()30cos B A v m M Mv -=()30sin 0B A A A v m M v m --=解得 M v vm A A 33=，AA B v v vv v 32--=， 代入数据得：kg 92.1=A m ，m /s 64.112=B v .题8-1图8-2 一个质量为m 1的人手里拿着质量为m 2的物体，以仰角θ，速度v 0向前跳起。