第三章 控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据 一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t 1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。

可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。

二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x 2不能控y2则系统不能控，若2121,C C R R ==⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x设初始时刻为t 0=0，对于任意的初始状态x(t 0)，有： 根据系统能控性定义，令x(t f )=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令 上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是Q C 满秩。

判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：⎰-+=ft f f f d Bu t x t t x 0)()()0()()(τττφφ⎰⎰---=--=-ff t f f t f f d Bu t t d Bu t t x 01)()()()()()()0(τττφφτττφφ⎰--=f t d Bu x 0)()()0(τττφ∑-=-==-1)()(n k kk A A eτατφτ∑⎰⎰∑-=-=-=-=101)()()()()0(n k t k k t n k k k ff d u B A d Bu A x ττταττταkt k u d u f=⎰)()(ττταUQ u u u u B A B A AB B Bu A x c k n n k kk -=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=-=--=∑ 321121],,,[)0(能控性矩阵Q C =[B ，AB ，A 2B ，…A n-1B]满秩。

对于单输入系统，Q C =[b ，Ab ，A 2b ，…A n-1b] 如果系统是完全能控的，称（A 、B ）或（A 、b ）为能控对。

判据2：对于线性定常系统，若B 的秩为r ，则系统完全能控的充要条件是：rank[B ，AB ，A 2B ，…A n-r B]=n例：设试判断系统的能控性解：系统是不完全能控的。

若考虑到rankB=2，只需计算rank[B ，AB]=2，说明系统不能控。

例：图示电路，判断系统能控性条件。

u x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100110110010011 2121110010101121110],,[2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==c c rankQ B A AB B Q解：选取状态变量x 1=i L ，x 2=u C ，得系统的状态方程为：2432114342122243321114343212111111111x R R R R C x R R R R R R C x u L x R R R R R R L x R R R R R R R R L x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-= ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-==4342124343212121011],[R R R R R R LC R R R R R R R R L LAb b Q C当（R 1R 4=R 2R 3）时，系统能控。

否则系统不能控。

定理：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变。

证：判据3：线性定常系统（A 、B 、C ），若A 的特征值λ1、λ2、…λn 互不相同，则一定可以通过非奇异变换P 把A变换成对角阵，即： 此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。

如果中某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。

证明见何p196{16}434212R R R R R R +=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-n AP P A λλλ211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nr n n r r r r r r r r r r r B P B 2122221112111BB例：判断系统的能控性解： 系统不能控。

判据4：一般情况下，当A 有重特征值时，可利用变换阵P 将A 化为约当阵，如果对应A 的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的阵中，这一行的元素不全为零。

（证见何p199） 例：判据5：设n 维线性定常系统状态方程：当A 有重特征值时，可利用变换阵P 将A 化为约当阵，若λ1、λ2、…λm 为其m 个互异特征值，对应与某个特征值λi 可以找到r （i ）个独立的特征向量，则与λi 相对u x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=011012 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--011002101111b P b AP P A P B Bu Ax x+= ⎤⎡===-ii ir i i i m A A A diag A A A A diag AP P A λ1),,(),,()(21211应的约当块A i 中有r （i ）个约当块，即： 相应地，设：系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、…m ，矩阵B i l 的各行在复数域上线性无关，其中：例：系统能控的充分必要条件是向量组{b l11、b l12、b l13}线性无关以及{b l21}线性无关（即不为零）。

判据6：PBH 判别法 线性定常系统完全能控的充分必⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-lij ijij ij i ir i i i m b b b B B B B B B B B B P B 21)(21211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(11i lir li li li b b b B 211312112211111100111100211010001000111l l l l b b b b ux x ←←←←⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλ要条件是n ×（n+r ）矩阵[λI-A ，B]对A 的所有特征值λi 之秩为n 。

即：rank[λi -A ，B]=n ，（i=1、2、…n ）三：线性时变系统的能控性判据定义：设线性时变系统状态方程为：对任意给定的一个初始状态x(t 0)，如果在t 1> t 0的有限时间区间[t 0,t 1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t 0，t 1)，使x(t 1)=0，则称系统在t 0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。

定理一：线性时变系统在t 0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵： 为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵。

证明：充分性：即为非奇异时，系统能控。

由于非奇异，令：⎰=10),()()(),(),(0010t t T T d t B B t t t W ττφτττφ),(0t t φ),(10t t W ),(10t t W )(),(),()()(01010t x t t W t t t B t u T T --=φu t B x t A x)()(+=),(10t t W )(),(0t B t t φ0)(),(0=t B t t αφ则：说明系统是能控的。

必要性：反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。

由于是奇异的，故的行向量在[t 0,t 1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t 0,t 1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t 0)= αT ,则:说明α=0,矛盾。

)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(0101100100101010001001010101001100111110=-=-=-=+=---⎰⎰⎰t x t t W t t W t t t x t t d t x t t W t B B t t t t x t t d t x t t W t B B t t x t t d u B t t x t t t x t t T T t t T T t t φφττφτττφφφττφτττφφττττφφ),(10t t W 0)()(),()()(),()()(),(),()()()(),()(),(0)()(),()(),()(111110001100100110011=-=-=-=-==+=⎰⎰⎰⎰⎰t t Tt t Tt t t t t t d u B t d u B t d u B t t t t x d u B t t x t t d u B t t x t t t x τττταφααττττφαττττφφττττφφττττφφ)(),(0t B t t φ),(0t t φBe At -● 线性定常系统(A 、B 、C)，状态完全能控的充分必要条件是格兰姆矩阵： 或为非奇异矩阵。

定理二：线性时变系统在t 0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t 0,t 1]上线性无关，式中为状态转移矩阵。

● 线性定常系统(A 、B 、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t 0,t 1]上线性无关。

定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t 1>t 0，使得： 则系统在t 0是能控的。

其中：本定理是充分条件，对于线性定常系统则为充分必要条件。

四：线性定常系统的输出能控性⎰--=1)()(),(0010t t T T d t BB t t t W ττφτφ⎰⎰--=--=111)()(),0(t A T A t T T d e BB e d BB t W Tτττφτφττnt M t M t M rank n =-)](),(),([111110 )()()()()()(10t M dtdt M t A t M t B t M k k k +-==+设线性定常系统动态方程为：如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间t f -t 0内，使得由任一初始输出y(t 0)，能够转移到任意输出y(t f )，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。

系统输出完全能控的充分必要条件是下列 m ×(n+1)r 矩阵满秩，即：控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系。

例： 由于：该系统状态不能控而输出能控。

对于本例，若设则系统输出不能控。

⎩⎨⎧+=+=DuCx y Bu Ax x mD BCA B CA CAB CB rank n =-][12 []xy u x x 01112110=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-= []1011],,[11111],[=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=d cAb cb rank rank Ab b rank []xy 11=[]0000],,[==d cAb cb rank3-2 能观测性及其判据 一：能观测性的概念定义：设n 维线性定常系统的动态方程为：如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t 0)的每一个分量,则称此系统是状态完全能观测的，简称能观测的。